Signature d'une permutation

OShine · June 2023

JLapin a dit :

Non, tu n'as pas la bonne définition d'une partie génératrice d'un groupe et du coup, certaines de tes preuves sont des arnaques.
Tu peux retenter ta chance.

Wikipédia dit :
En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie $A$ de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de $A$ et de leurs inverses.

Il me semble que j'ai oublié les inverses.

D'ailleurs en relisant, il y a un souci dans ma preuve.

canasson29 · June 2023

Par définition, une partie génératrice $A$ est un sous-ensemble telle que $<A>\,=G,$ où $<A>$ désigne le plus petit sous-groupe qui contient $A,$ appelé sous-groupe engendré par $A$ et qui d'un point de vue ensembliste est $\displaystyle <A>\, = \bigcap_{A \subset H} H,$ l'intersection se faisant sur les sous-groupes de $G$ qui contiennent $A.$

On peut aussi décrire $<A>$ comme l'ensemble $<A>\, = \left\lbrace a_1^{\epsilon_1} \cdots a_n^{\epsilon_n} \mid n \in \mathbb{N},\ (a_1,\dots , a_n) \in A^n, \ (\epsilon_1,\dots,\epsilon_n) \in \lbrace \pm 1 \rbrace^n \right\rbrace.$

JLT · June 2023

OShine a dit :

Montrons que deux morphismes $f$ et $g$ qui coïncident sur une partie génératrice $A$ de $G$ sont égaux.
Soit $G=\langle A \rangle$ et $\forall x \in A \ f(x)=g(x)$.
Soit $y \in G$, alors il existe $a_1, \cdots, a_n \in A$ tel que $y =a_1 \cdots a_n$.
Donc $f(y)=f(a_1 \cdots a_n) =f(a_1) \cdots f(a_n)=g(a_1) \cdots g(a_n)=g(a_1 \cdots a_n)=g(y)$.
On a montré $\forall y \in G \ f(y)=g(y)$ donc les morphismes $f$ et $g$ sont égaux.

Il faut effectivement rajouter les inverses pour que cette preuve marche. Sinon on peut procéder ainsi : soit $B=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}$. On a $e\in B$, et si $x,y\in B$ alors $f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=g(x)g(y)^{-1}=g(xy^{-1})$ donc $B$ est un sous-groupe de $G$. Comme il contient $A$, on en déduit $B=G$ donc $f=g$.

Thierry Poma · June 2023

@OShine : bonjour. Je lis ceci tout en étant inquiet :

Soit $G$ un groupe et $A$ un sous-groupe de $G$.
Si $A$ une partie génératrice de $G$ et $g \in G$ alors (...)

Penses-tu qu'une partie génératrice de $G$ est un sous-groupe de $G$ ?

Sinon, @JLT t'a donné une bonne façon de procéder, que l'on utilise également en topologie générale avec les parties denses.

Math Coss · June 2023

JLapin a dit : Non, tu n'as pas la bonne définition d'une partie génératrice d'un groupe et du coup, certaines de tes preuves sont des arnaques. Tu peux retenter ta chance.

JLT a dit :
Il faut effectivement rajouter les inverses pour que cette preuve marche.

En principe, évidemment, vous avez raison. Est-ce que – par hasard – @OShine n'aurait pas raison dans ce cas très précis, dans la mesure où les générateurs sont des involutions ?

JLT · June 2023

Sauf qu'il a écrit "Montrons que deux morphismes f et g qui coïncident sur une partie génératrice A de G sont égaux." Donc il ne se bornait pas dans sa preuve au cas où les générateurs sont des involutions.

Math Coss · June 2023

Il est plus économique de remplacer « une » par « cette » que d'ajouter les inverses... mais je plaisante bien sûr.

OShine · June 2023

canasson29 a dit :

Par définition, une partie génératrice $A$ est un sous-ensemble telle que $<A>\,=G,$ où $<A>$ désigne le plus petit sous-groupe qui contient $A,$ appelé sous-groupe engendré par $A$ et qui d'un point de vue ensembliste est $\displaystyle <A>\, = \bigcap_{A \subset H} H,$ l'intersection se faisant sur les sous-groupes de $G$ qui contiennent $A.$
On peut aussi décrire $<A>$ comme l'ensemble $<A>\, = \left\lbrace a_1^{\epsilon_1} \cdots a_n^{\epsilon_n} \mid n \in \mathbb{N},\ (a_1,\dots , a_n) \in A^n, \ (\epsilon_1,\dots,\epsilon_n) \in \lbrace \pm 1 \rbrace^n \right\rbrace.$

Pourquoi @raoul.S m'a suggéré de la démontrer ?
Je n'ai pas la même définition d'une partie génératrice d'un groupe, voir première ligne.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_g%C3%A9n%C3%A9ratrice_d%27un_groupe

OShine · June 2023

Ok pour la preuve de @JLT.

@Thierry Poma
Non, si $G$ est engendré par une partie $A$, $A$ n'est pas toujours un groupe.
J'ai un souci, je ne comprends pas pourquoi si $f$ est égal à $1$ en toutes les transpositions alors $f$ et $sg$ coïncident.

lourrran · June 2023

Quand j'étais étudiant, (c'était un autre siècle), on nous enseignait des méthodes de travail. En particulier , une règle essentielle aujourd'hui oubliée : commencer par le commencement.

Le commencement, (ou les bases, ou les fondations), c'est ce qui va supporter tout le reste. Si les fondations sont mal faites, la maison s'écroule. Si on construit une maison sur un terrain argileux, sans précautions particulières, elle va se fissurer au premier écart climatique. C'est du bon sens.

Et concrètement, dans un exercice de maths où on patauge, la première chose à faire, c'est de donner les définitions des objets qui interviennent.
Si on ne connaît pas les définitions, on n'a aucune chance d'avancer. Si on n'a pas tous les mêmes définitions (ça peut arriver), ça veut dire que le même mot veut dire une chose pour un individu, et autre chose pour un autre individu. Et donc il y a des quiproquos, des malentendus, aucune avancée possible.

Et en particulier quand on passait des kholles, sur un exercice difficile, le fait de commencer en donnant les définitions permettait de positiver ! Mr le professeur, je ne sais peut-être pas faire l'exercice, mais je ne reste pas comme un couillon à dire : je ne comprends pas. Je vous montre que je sais avancer un petit peu.

En plus, le fait de récapituler tout ce qu'on sait sur le sujet (les définitions, les propriétés apprises en cours ...) ça peut permettre de voir un point d'ancrage pour commencer l'exercice.

Sur un forum d'entraide, on devrait exiger des 'demandeurs' de systématiquement rappeler tout ce qu'ils savent sur le sujet, quand ils posent une question.
Ca aurait 2 avantages : le demandeur serait obligé de réfléchir. Et l'aidant pourrait formuler une aide correctement ciblée, en phase avec ce que le demandeur sait et peut comprendre.
Dans les questions posées par OShine, c'est flagrant. Une fois sur 2, la première réponse qui lui est faite est soit un rappel d'un cours supposé connu, soit une demande du type : quelle est la définition de ...

On parle de partie génératrice, c'est quoi une partie génératrice ?
On parle de 2 fonctions à valeur égale sur une partie ? ça veut dire quoi ? (ça, c'est peut-être trop simple)

Pour remonter encore plus loin, en analyse de texte, on découpait chaque phrase en éléments. Ici, le mot partie et le mot génératrice sont fortement liés. Ce qu'il nous faut, ce n'est pas la définition d'une partie, et la définition du mot génératrice, mais la définition d'une partie génératrice.

Dans une autre discussion récente, qui a été rapidement fermée à juste raison, OShine commençait en disant 'je ne comprends pas ...' et finalement, il a fini par dire : je ne connais pas la définition des mots qui sont utilisés dans cet exercice.

C'est totalement différent, c'est essentiel de faire la différence entre connaître (ou pas) le sens d'un mot, et comprendre (ou pas) un raisonnement mathématique. Si je lis une phrase avec le mot convolution, je vais aller chercher la définition de ce mot sur un dictionnaire, parce que je vais forcément mal interpréter la phrase, je ne connais pas ce mot. J'ai déjà entendu ce mot, je sais qu'il existe, mais je n'en connais pas le sens.

@OShine, si je prends la peine d'écrire ce pavé de plus de 30 lignes, c'est pour t'aider, pas pour te démolir comme certains me le reprochent parfois. Lis-le, relis-le tous les soirs pendant un mois s'il le faut.

Systématiquement, à chaque fois qu'un passage te pose problème, à chaque fois que tu poses une question, commence en rappelant les définitions et les propriétés des objets manipulés.
Accessoirement, au moment de cliquer sur le bouton 'Envoyer', tu t'apercevras souvent que tu as trouvé la réponse à ta question, simplement en recopiant quelques définitions.

JLapin · June 2023

lourrran a dit :

On parle de 2 fonctions à valeur égale sur une partie ? ça veut dire quoi ? (ça, c'est peut-être trop simple)

Non, pour lui, ça n'est malheureusement pas trop simple...

Thierry Poma · June 2023

@OShine : comme je te le disais hier soir, l'auteur prend la peine de montrer que $\mathrm{sg}:\left(\mathfrak{S}_n,\,\circ\right)\to\left(\{-1,\,1\},\,\times\right)$ est un très bon candidat. Je préfère manifester en surface les lois internes en jeu.

Cela dit, tout revient à montrer qu'il s'agit du seul candidat possible. Supposons donc que $f:\left(\mathfrak{S}_n,\,\circ\right)\to\left(\C^*,\,\times\right)$ soit encore un candidat possible. Vu que $\mathfrak{S}_n=\left<\mathfrak{T}_n\right>$ et que $f$ est non trivial, il est donc impossible que l'on ait $f(\tau)=1$ pour toute transposition $\tau$ de $\mathfrak{S}_n$. Dit autrement, il existe donc au moins une transposition $\tau'\in\mathfrak{T}_n$ telle que $f(\tau')\ne1$. De plus, toute transposition $\theta\in\mathfrak{T}_n$ étant conjuguée avec $\tau'$, il suit immédiatement que $f(\theta)=f(\tau')$. Or, $\mathrm{id}_n=\tau'\circ\tau'$, ce qui nous donne $1=f(\mathrm{id}_n)=f(\tau')^2$, i.e. $f(\tau')=-1$, vu que $f(\tau')\ne1$ (et que $\left(\C^*,\,\times\right)$ est un groupe multiplicatif). Partant, comme pour toute transposition $\tau\in\mathfrak{S}_n$, l'on a $f(\tau)=\mathrm{sg}(\tau)=-1$, il suit que $f$ et $\mathrm{sg}$ coïncident sur $\mathfrak{T}_n$ et donc sur $\mathfrak{S}_n$ a fortiori.

lourrran · June 2023

Oui, @JLapin, je sais.
Dans l'absolu, c'est trop simple, mais c'est effectivement un copier coller d'une question posée par OShine.

Mais justement. Je lis un bouquin de maths, il y a un paragraphe que je ne comprends pas. La première chose à faire, c'est d'écrire les définitions que je connais, les propriétés que je connais. 2 fonctions à valeurs égales, je sais ce que ça veut dire : ok, je réécris cette partie de phrase avec mes mots à moi : 2 fonctions sont à valeur égale sur une partie $X$, c'est la même chose que : 2 fonctions $f$ et $g$ qui vérifient $f(x)=g(x)$ pour tout $x \in X$
Ca me permet d'avoir sous les yeux l'énoncé de ce paragraphe, écrit non pas en langue Liret ou JLapin ou Vuibert, mais en langue Lourrran.

Thierry Poma · June 2023

@OShine : attention ! Je n'ai pas écrit que $f$ est égale à $\mathrm{sg}$, ce qui est d'ailleurs faux. C'est la co-restriction de $f$ à $\{-1,\,1\}$ qui l'est.

raoul.S · June 2023

OShine a dit :
Pourquoi @raoul.S m'a suggéré de la démontrer ?

Parce que tu as dit que ces deux énoncés ne sont pas équivalent ICI. Donc je t'ai suggéré de démontrer qu'en fait ils sont bien équivalents...

OShine · June 2023

@Thierry Poma
Merci beaucoup, super clair. Je n'avais pas compris le passage $f( \tau')=-1$ mais tu viens de l'expliquer.

@lourrran
J'ai tout lu tout ton message.

Montrons que $A$ est une partie génératrice de $G$ si et seulement si $G= \langle A \rangle$.
Soit $A$ une partie génératrice de $G$. Alors tout élément de $G$ s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de $A$ et de leurs inverses.
Montrons que $G= \langle A \rangle$.

$\langle A \rangle \subset G$ est évident car $G$ est un groupe donc stable par produit et multiplication par l'inverse.
Soit $g \in G$. Il existe $n \in \N$, $a_1, \cdots, a_n \in A$ et $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ tel que $g=a_1 ^{\varepsilon_1} \cdots a_n ^{\varepsilon_n}$ donc $g \in \langle A \rangle$. Ce qui montre $G \subset \langle A \rangle$.

Réciproquement, supposons que $G= \langle A \rangle$.
Il est évident que $A$ est une partie génératrice de $G$ si on utilise la caractérisation suivante : $\langle A \rangle = \{a_1 ^{\varepsilon_1} \cdots a_n ^{\varepsilon_n} \ | \ n \in \N \ | \ \forall i \ a_i \in A \ \varepsilon_i = \pm 1 \}$.

Thierry Poma · June 2023

@OShine : sauf que je viens de relire, et $f(\tau')=-1$ résulte de ce que $f(\tau')\ne1$ et de ce que $(\C,\,+,\,\times)$ est un anneau intègre (vu qu'il s'agit d'un corps). C'est l'une des raisons du choix effectué par l'auteur du livre.

OShine · June 2023

$f(\tau')^2 \ne 1$ et $f(\tau ')^2=1$.
Donc $( f( \tau ')-1)( f(\tau ')+1)=0$.
Mais $(\R,+\times)$ est aussi un corps non ?

Thierry Poma · June 2023

@OShine : en fait, tout anneau intègre $\Bbb{A}$ incluant l'ensemble $\{-1,\,1\}$ aurait fait l'affaire.

Thierry Poma · June 2023

@OShine : j'aurais dû être plus rigoureux : tout anneau intègre $\Bbb{A}$, dont l'ensemble $\{-1,\,1\}$ est inclus dans l'ensemble de base principal, aurait fait l'affaire.

OShine · June 2023

Ok merci.

Signature d'une permutation

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