Bonjour, j'essaye de comprendre la géométrie de ce processus, qui pourrait me donner une matrice de taille 3 qui serait la base d'un réseau qui serait le plongement d'un anneau d'entiers contenu dans Q ?
je te conseille le Cox "Primes of the form x² + ny²" tu trouveras sûrement ton bonheur parce que ta question n'est effectivement pas claire comme le signale @Poirot.
Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Protegere Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques.
si mon corps est une extension de degré 3 on peut plonger cet anneau dans un réseau de dim 3.
Dit comme ça, c'est évident : on sait que (voir tout corps de théorie algébrique des nombres), que $\mathcal O_K$ est un $\mathbb Z$-module libre de rang $3$, donc si on en prend une base $(\omega_1, \omega_2, \omega_3)$, il suffit de considérer l'unique morphisme de groupes qui envoie $\omega_i$ sur $e_i$, où $(e_1, e_2, e_3)$ est la base canonique de $\mathbb Z^3$.
Prenons le premier exemple qui passe en tête : $K = \mathbb Q(\alpha)$ avec $\alpha = \sqrt[3]{2}$. La première étape est de justifier que $[K : \mathbb Q] = 3$. Ensuite, il est clair que $\mathbb Z[\alpha] \subset \mathcal O_K$, et si l'on parvient à montrer l'égalité, alors $(1, \alpha, \alpha^2)$ est une $\mathbb Z$-base de $\mathcal O_K$, à partir de laquelle on peut voir $\mathcal O_K$ comme un réseau dans $\mathbb Z^3$ comme je l'ai dit plus haut. Pour montrer qu'on a effectivement l'égalité, tu peux suivre la méthode donnée par Keith Conrad dans cette note ou lire ce qu'a à dire Lang dans on Algebraic Number Theory pages 67-68.
Merci ok donc on est d'accord que ce n'est pas immédiat !
J'ai encore une question candide mais qui peut intéresser tout étudiant de licence 3 : le corps de décomposition de X^3 - 2 est de degré 6, pouvez-vous m'en donner une base ?
Bonjour Prendre $s=i\sqrt{3}$ ou $s=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ est équivalent, une base en vaut une autre. J'ai choisi le plus simple à écrire. Cordialement, Rescassol
Réponses
Cox est le nom de l'auteur du livre " Primes of the form $x^2 + ny^2$ ".
Cordialement,
Rescassol
En posant $r=\sqrt[3]{2}$ et $s=i\sqrt{3}$, une base est $\{1,r,r^2,s,rs,r^2s\}$.
Cordialement,
Rescassol
ici f(z) serait quoi ?
Prendre $s=i\sqrt{3}$ ou $s=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ est équivalent, une base en vaut une autre. J'ai choisi le plus simple à écrire.
Cordialement,
Rescassol