La A-droite de van Lamoen

Jean-Louis Ayme
Jean-Louis Ayme
Modifié (June 2023) dans Géométrie

Bonjour,
pour commencer...

1. ABC  un triangle

2. H                        l'orthocentre de ABC

3. L, M                   deux droites perpendiculaires issues de H,

4. B', C'                   les points d'intersection de L resp. avec (CA), (AB),

5. B'', C''                 les points d'intersection de M resp. avec (CA), (AB)

6. I, J, K                 les milieux de [BC], [B'C'], [B"C"].

Question :             I, J et K sont alignés.

On notera La cette droite.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Une légère incohérence : $B''$ dans la description correspond à $A''$ dans la figure (ce qui est plus logique).
    Ce serait drôle si les droites correspondant à $B$ et $C$ s'appelaient $Si$ et $Do$ plutôt que $Lb$ et $Lc$.
  • Bouzar
    Bouzar
    Modifié (June 2023)
    Bonjour
    Soient $P$ et $U$ deux points non situés sur les côtés du triangle.
    On note :  $P\simeq\left(\begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right)\quad U\simeq\left(\begin{array}{c} u\\ v\\ w \end{array}\right).$
    Définissons $L$ et $M$ comme les tripolaires des points $P, U$ respectivement. On a :
    $L\simeq\left[\dfrac{1}{p},\dfrac{1}{q},\dfrac{1}{r}\right]\quad M\simeq\left[\dfrac{1}{u},\dfrac{1}{v},\dfrac{1}{w}\right].$
    Les points $B',C', B'',C''$ font parties des points cocéviens des points $P, U.$ On a :
    $B',C'\simeq \left(\begin{array}{c} -p\\ 0\\ r \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} p\\ -q\\ 0 \end{array}\right)\quad B'',C''\simeq\left(\begin{array}{c} -u\\ 0\\ w \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} u\\ -v\\ 0 \end{array}\right).$
    $I_a = mil[BC] = 1.\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + 1.\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)$
    $J _a=mil[B'C'] = (p-q).\left(\begin{array}{c} -p\\ 0\\ r \end{array}\right) +(r-p).\left(\begin{array}{c} p\\ -q\\ 0 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} -p(p-q)+(r-p)p\\ -q(r-p)\\ r(p-q) \end{array}\right)$
    $K_a = mil[B''C''] = (u-v).\left(\begin{array}{c} -u\\ 0\\ w \end{array}\right) +(w-u).\left(\begin{array}{c} u\\ -v\\ 0 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} -u(u-v)+u(w-u)\\ -v(w-u)\\ w(u-v) \end{array}\right)$

    Par suite, on a :
    $\det(\left[I_a, J_a , K_a\right]) =\det\left( \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ -p(p-q)+(r-p)p & -q(r-p)&  r(p-q)\\-u(u-v)+u(w-u) & -v(w-u) & w(u-v) \end{array}\right]\right) = -2pu \times\left(pv-pw-qu+qw+ru-rv\right) $
    $\det(\left[I_a, J_a , K_a\right]) =-2pu \times\left(pv-pw-qu+qw+ru-rv\right) =-2pu \times \det\left[G,P,U\right] $
    $\det(\left[I_a, J_a , K_a\right]) =0$ car les points $P, U$ et $G$ sont alignés.
    En conclusion, les points $I_a, J_a$ et $K_a$ sont alignés sur la A-droite de van Lamoen, notée $L_a.$.
    On a: $L_a\simeq\left[−⁢q⁢+⁢r⁢ ,-2p+q+r ,2p-q-r \right].$
    Amicalement

  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Modifié (June 2023)
    Merci Bouzar...
    J'attends un peu avant de relancer ce problème avec une autre question.
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Modifié (June 2023)
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