Formes linéaires unitaires

SandwichFromage
SandwichFromage
Modifié (May 2023) dans Analyse
Bonjour
J'aimerais montrer que, dans $\mathbb R^n$ muni d'une norme $||\cdot ||$ quelconque, il existe une base $e_1,\dots,e_n$ de vecteurs unitaires tels que les formes linéaires $e_i^*$ donnant les coordonnées dans cette base soient de norme subordonnée $\leqslant 1$ (norme subordonnée à la norme précédente).
J'ai fait un dessin en dimension deux, et ça se voit bien pour les normes usuelles. Je ne sais pas si je peux me ramener à ces normes par équivalence des normes, ça me semble ardu. J'ai la forte intuition que la convexité de la boule fermée unité joue un rôle.
Des idées ?

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Il suffit de choisir ta base du dual avec les propriétés désirées, puis de considérer la base antéduale.
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (June 2023)
    Attention, ce n'est pas aussi simple. En effet si on prend une base dans le dual formée de formes linéaires de norme 1 (pour la norme subordonnée) on se retrouve avec le même problème : rien ne nous garanti que la base antéduale soit unitaire...

    En fait c'est plus subtil et c'est le lemme d'Auerbach qui répond à la question.


  • MrJ
    MrJ
    @raoul.S : Autant pour moi, je n'avais pas vu que les vecteurs $e_1,\ldots, e_n$ devaient être unitaire.
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