Comparaison entre ensembles quotients
Bonjour
Soit $E$ un ensemble et $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}^{\prime}$ deux relations d'équivalence sur $E$ vérifiant : $$ x\mathcal{R}y\Longrightarrow x\mathcal{R}^{\prime}y \;\;\;\forall x,y\in E $$
On considère les ensembles quotients $ E\diagup \mathcal{R}^{\prime}$ et $ E\diagup \mathcal{R}$.
1) A-t-on $ E\diagup \mathcal{R}^{\prime}\subset E\diagup \mathcal{R} \ ? $
2) Soit $A\subset E$. A-t-on $ E\diagup \mathcal{R}=A\diagup \mathcal{R}\sqcup \overline{A}\diagup \mathcal{R} \ ? $
Merci par avance.
Soit $E$ un ensemble et $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}^{\prime}$ deux relations d'équivalence sur $E$ vérifiant : $$ x\mathcal{R}y\Longrightarrow x\mathcal{R}^{\prime}y \;\;\;\forall x,y\in E $$
On considère les ensembles quotients $ E\diagup \mathcal{R}^{\prime}$ et $ E\diagup \mathcal{R}$.
1) A-t-on $ E\diagup \mathcal{R}^{\prime}\subset E\diagup \mathcal{R} \ ? $
2) Soit $A\subset E$. A-t-on $ E\diagup \mathcal{R}=A\diagup \mathcal{R}\sqcup \overline{A}\diagup \mathcal{R} \ ? $
Merci par avance.
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Réponses
2) C’est faux en général. Si tu considère une partie $A$ qui contient une partie seulement d’une classe d’équivalence, alors l’égalité ne pourra pas être vérifiée.
pour question 2) si on remplace réunion disjointe par réunion quelconque l'égalité devient correcte. Vrai ?