Perturbons la matrice $J_n$
Réponses
-
Rien de tel que l'expérimentation pour s'échauffer les doigts.
-
Notons $K_n$ une telle matrice.
Le rang de $K_n$ est $2$ donc 0 est valeur propre de multiplicité $n-2$ (théorème du rang).
Ensuite on peut passer par le calcul du polynôme caractéristique de $K_n$ pour exprimer celui-ci à l'aide de ceux des $J_k$ pour $k < n$.
Il faut sans doute distinguer le cas où le 0 est sur la diagonale et celui où il ne l'est pas. -
Notons $A_n$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients valent $1$ sauf le coefficient en position $(i,j)$ qui est nul.On remarque que $A_n$ est de rang $2$, donc son polynôme caractéristique est$$\chi(X)=X^{n-2} \left(X^2 - \textrm{tr}(A_n) X + \dfrac{\textrm{tr}(A_n)^2 - \textrm{tr}(A_n^2)}{2}\right).$$
Dans le cas où $i=j$, on obtient que
$$\chi(X)=X^{n-2} \left(X^2 - (n-1) X + (1-n)\right).$$ Dans le cas où $i\neq j$, on obtient que
$$\chi(X)=X^{n-2} \left(X^2 - n X + 1\right).$$ -
Très bien. Si le zéro est en $(1,2)$ et si on me demandait comment je fais : on introduit le vecteur $f=e_1+\cdots+e_n$ pour écrire l'endomorphisme $f\otimes f-e_1\otimes e_2$ dans la base $f,e_1,e_2, e_4, \ldots e_n.$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres