Leçon 104,anciennement 169 structures quotients dans divers domaines de l'algèbre, applications

m.c1
m.c1
Modifié (June 2023) dans Concours et Examens
Bonjour à tous
Quelles références de livres pourriez-vous me conseiller pour cette leçon ?
Je possède les  Rombaldi  et le Combes
Merci pour vos réponses 
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Réponses

  • Dom
    Dom
    Difficile de proposer peu d’ouvrages je pense. Rien que la mention « dans divers domaines » laisse à penser qu’il en faudrait un par exercice, si je force le trait.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Il serait plus intéressant que tu proposes les thèmes que tu souhaites aborder pour que les cadors te disent ceux qui manquent.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • m.c1
    m.c1
    Le problème, en fait, c'est que cette leçon me semble spécifique, et très transversale, donc interressante à étudier. 

    Groupe quotient, anneau quotient
    Définition, propriétés, th d'isomorphisme
    Application : très diverses

    Merci @nicolas.patrois  :  je cherche un livre me permettant de comprendre en profondeur la notion de quotienter, (j'ai quelques notions mais trop succinctes scotchées à des exemples utilisant la puissance des th de factorisation) 
    Je n'ai pas encore d'idée précise des thèmes. 

    Je vais potasser sur mes livres et reviendrais avec des questions plus précises. 


  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,
    Je te donne comme référence cette vidéo
    Le 😄 Farceur


  • gai requin
    gai requin
    On peut rajouter ensemble quotient (via une relation d’équivalence) et espace vectoriel quotient (via un sous-espace vectoriel).
  • m.c1
    m.c1
    Modifié (May 2023)
    @gebrane merci bcp pour ce lien, les vidéos de Maths adultes sont interressantes mais celles du tchat  trop longue(3h 30) pour moi. 
    Je suis plutôt génération livre :smile:
  • Dom
    Dom
    Modifié (May 2023)
    Je tente une sorte de liste : elle est plutôt soumise à la critique et certainement pas une proposition car je ne suis pas du tout spécialiste. Je mets des numéros en dizaine pour que l’on puisse insérer des choses. 

    00) Ensemble quotient 
    10) Groupe quotient 
    -> sans géométrie 
    -> avec géométrie
    20) Anneau quotient 
    -> sans arithmétique 
    -> cas de l’arithmétique des entiers 
    -> cas de l’arithmétique des polynômes 

    30) Espace vectoriel quotient (à mettre entre 10 et 20 ?) 

    Quelques idées dont je ne sais pas s’il faut en parler dans l’introduction ou bien à exploiter dans les exercices. 
    Il faut penser à un plan. 
    idée 1 : la construction des ensembles $\mathbb Z$, $\mathbb Q$. Ça je me dis qu’il faut plutôt en parler dans l’introduction je pense. 
    idée 2 : la construction de $\mathbb R$ avec les suites de Cauchy est-elle dans le sujet ? (C’est plutôt de l’analyse…). Attention au hors-sujet (ça n’empêche pas de l’évoquer en disant qu’on n’en parle pas 🤣)
    Question : l’ensemble des décimaux se construit-il avec un quotient ?

    À disséminer : je connais trois théorèmes d’isomorphisme mais suis incapable d’en trouver des applications pertinentes. 

    Remarque : le fait de préciser « de l’Algèbre » a certainement été fait pour ne pas parler de « topologie quotient ».

    Question : 
    Existe-t-il une notion d’Algèbre quotient ?

    Je répète que ce message doit être pris avec des pincettes et non une suggestion. 
  • odile0502
    odile0502
    Modifié (May 2023)
    Bonjour , cette leçon est " nouvelle" depuis 2018 à l'agrégation interne 

    Le livre " 51 leçons pour la 1ère épreuve orale d'exposé" de Karmati et Polteau dit que le RJ de l'agrégation EXTERNE de 2017 dit que :

  • odile0502
    odile0502
    Modifié (May 2023)
     Re bonjour à tous,
    Le Karmati a fait un plan trop long, ils le disent en préambule, pour bien s'approprier toutes les notions avant de choisir celle(s) qu'on va omettre ou simplement citer.
    Ils intègrent des applications dans chaque partie, ce qui permet de travailler un paragraphe et de voir une application tout de suite
    Voici leur plan :
    I . Quotient d'un ensemble par une relation d'équivalence   (RAMIS + ROMBALDI)
        Applications : construction de Z et Q
    II . Quotient d'un groupe par un sous-groupe  (RAMIS + ROMBALDI)
             1) Définitions - théorème de Lagrange
             2) Actions de groupes et quotients
                 Application : Équation aux classes qui permet de démontrer la formule  de Burnside
             3) Cas d'un sous-groupe distingué
                 Propositions - théorèmes
                 Exemple : ( Z/nZ , + )
    III . Passage au quotient d'un morphisme de groupes  (RAMIS + ROMBALDI + AUDIN juste pour l'appli des angles)
                 Théorème de factorisation - exemples
                 Application : Construction des angles orientés de vecteurs du plan et de leur mesure
    IV . Anneau quotient (RAMIS + ROMBALDI +ORAUX -X-ENS seulement pour le critère d'Eisenstein)
             1) Anneaux
                Théorème - exemples
               Théorème de factorisation et d'isomorphisme
               Théorème des restes chinois
               Application : Résolution d'équations diophantiennes dans Z/nZ
              2) Construction de corps par passage au quotient
                 Théorème
                 Application  : Construction de C avec A=R[X]    et P = X^2+1
                                       Construction de C[i] avec A=Z[X) et P= X^2+1
                 2 autres applications ; ils conseillent de choisir l'une des 2 pour le développement
                                            CRITERE D'EISENSTEIN
                   ou                     DETERMINATION DES CORPS FINIS DE PETIT CARDINAL (plus difficile donc ils disent " attention à celui-ci" !)
    V . Espaces vectoriels  (RAMIS + GOURDON  pour l'appli sur th du rang)
             1) Construction
                Théorème
                Théorème de factorisation et d'isomorphisme
              2) Codimension et théorème du rang
                Application : Théorème du rang !
    En espérant avoir pu aider.
  • m.c1
    m.c1
    @odile0502 Merci pour ces précieuses informations
    Il me faudra travailler aussi action de groupes 😊
  • m.c1
    m.c1
    Modifié (May 2023)
    @Dom Merci pour ces informations
    Y a du boulot ! 
  • Dom
    Dom
    Yep. Sacrée leçon !

  • Math Coss
    Math Coss
    Un développement qui tue : $\Z[ i]/(p)\simeq \mathbf F_p [x]/(x^2+1)$ et, comme corollaire, le théorème des deux carrés. 
  • m.c1
    m.c1
    Oui je l'ai vu, mais un peu élevé sans doute, hors programme ou pas?
    Les questions seront d'un niveau équivalent 
  • odile0502
    odile0502
    Modifié (May 2023)
    De rien m.c1
    Oui y a du boulot ... mais un jour à la fois comme on dit dans mon nord natal ! :smile:
  • MonsieurRenard
    MonsieurRenard
    Modifié (May 2023)
    Le plan  proposé par Odile me paraît démesurément ambitieux mais justement m'interpelle. Est-il nécessaire de proposer des plans aussi transversaux pour espérer une très bonne note ? Un plan plus étroit mais avec lequel on sera à l'aise pour les questions n'est-il pas une meilleure idée ? Je pose sincèrement la question je compte passer l'agrégation d'ici 2 ou 3 ans
  • DeGeer
    DeGeer
    Odile indique bien que le plan est trop long, et que ce sont les auteurs du livre qui le disent.
    A priori, il faut présenter des applications dans des domaines variés du programme, tout en adaptant son exposé à son propre niveau pour ne pas présenter des choses qu'on ne maîtrise pas.
  • vpf
    vpf
    Si j'ai bien compris les conseils glanés ici et là, il ne faut pas présenter quelque chose si on sait qu'on ne maîtrise pas assez. Pour ma part, et c'est la première fois que je prépare l'agrégation ; je vais tabler sur la qualité plutôt que sur la quantité. C'est un choix personnel, basé sur mon niveau actuel, mes capacités de travail, le fait que je ne sois pas en congé formation, mes perspectives, etc. 
  • vpf
    vpf
    Modifié (May 2023)
    gebrane a dit :
    Bonjour. Je te donne comme référence cette vidéo
    Sinon, sans créer de nouveau fil de discussion, une question en passant : des avis sur les vidéos Maths Adultes ? Perso, j'aime beaucoup et j'ai l'impression de bien comprendre. Qu'en pensez-vous ?
  • Dom
    Dom
    Dans la proposition d’Odile, il ne faut pas tout prendre et tout sortir. Mais choisir ici et là ce qui est convenable pour une l’école d’agrégation. 
    Elle a un format spécifique (notamment en temps), donc on doit faire des choix qui rentrent dans le format. 
  • chanig
    chanig
    @vpf
    J'ai beaucoup appris avec les vidéos Maths adultes que j'ai visionnées en intégralité et qui sont compilées dans plusieurs cahiers.
    C'est moins rébarbatif que d'apprendre dans un livre et ça m'a motivée dans ma préparation du concours. 
    J'ai compris par exemple les actions de groupes et son explication du collier de perles m'a aidée dans mon développement .

  • geo
    geo
    Modifié (June 2023)
    Le mieux est de cibler pourquoi la structure quotient est utile et donner des applications.
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