Groupe de Klein

Bethebesteveryday
Bethebesteveryday
dans Algèbre
Bonjour tout le monde ,

pourquoi le groupe de Klein n'est pas cyclique ? 
est-ce que son ordre n'est pas premier ça suffit de répondre ? 

Merci d'avance

Réponses

  • Traversin
    Traversin
    Modifié (May 2023)
    Bonjour, il nous faudrait la définition de groupe de Klein que tu possèdes. Pour ta deuxième question, c'est loin d'être suffisant étant donné que pour tout entier $n \geq 1$, il existe un groupe cyclique d'ordre $n$.
    Amitiés.
  • Bethebesteveryday
    Bethebesteveryday
    Modifié (May 2023)
    Traversin
    le groupe de Klein que je possède est Z4.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Traversin
    Traversin
    Non, cela m'étonnerait fortement. Toutefois, il a bien le même ordre que $\Z/4\Z$. Je t'invite à taper "groupe de Klein" sur ton moteur de recherche favori pour approfondir ton sujet.
  • Bethebesteveryday
    Bethebesteveryday
    oui oui pardon je veux dire Z2 x Z2 ...
  • SandwichFromage
    SandwichFromage
    Modifié (May 2023)
    Pour qu'il soit cyclique il faudrait qu'un élément l'engendre : il faudrait un élément d'ordre 4.

    Mais si je prends un élément a de Z/2Z * Z/2Z, il vérifie 2a = a+a = 0. Du coup tous les éléments sont d'ordre inférieur à 2 : Il n'y a pas d'élément d'ordre 4 donc il n'est pas cyclique.
  • SandwichFromage
    SandwichFromage
    Et non, ça ne suffit pas de dire que son ordre n'est pas premier, les Z/nZ sont tous cycliques d'ordre n. Tu confonds avec "tout groupe d'ordre premier est cyclique", la réciproque est fausse.
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