Comportement asymptotique d'une suite

Boécien · May 2023

Soit la suite définie par $u_{1}=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{\left|\cos\left(u_{n}\right)\right|^{r}}$.
Pour quelles valeurs de $r$ a-t-on $u_{n}\rightarrow\pi$ ?

Dans ce cas a-t-on $$u_{n}=\pi-\frac{2}{\pi rn}+O\left(\frac{\log n}{n^{2}}\right)\quad ?$$ ce que j'extrapole de quelques essais numériques.

Je pense qu'il existe une valeur maximale $r_{0}>1/2$ telle que pour $0<r<r_{0}$ on a $u_{n}\rightarrow\pi$.

Qui a une idée pour ce $r_0$ ? J'estime que $r_0=0.5126277...$ mais je n'y vois rien de remarquable.

gebrane · May 2023

Effacé, sans intérêt.

Calli · May 2023

Bonjour,

Supposons que $u_{n} \rightarrow \pi $ et montrons que $\displaystyle u_{n} =\pi - \frac{2}{\pi rn} +O\bigg( \frac{\ln n}{n^2 } \bigg)$.

En notant $y=x-\pi $, on a \[\frac{x}{\lvert\cos x\rvert^{r}} \underset{\substack{x\rightarrow \pi \\ y\rightarrow 0}}{=} \frac{\pi +y}{\big(1- \frac{y^2 }{2} +O(y^{4} )\big)^{r} } = (\pi +y)\left(1+ \frac{ry^2 }{2} +O(y^{4} )\right) =\pi +y+ \frac{\pi r}{2} y^2 +O(y^{3} ).\]

Donc en posant $v_{n} =u_{n} -\pi $, on a $v_{n+1} = v_{n} + \frac{\pi r}{2} v_{n} ^2 +O(v_{n} ^{3} )$. D'où : \[ \frac{1}{v_{n+1}} - \frac{1}{v_{n}} = \frac{1}{v_{n}} \left( \frac{1}{1+ \frac{\pi r}{2} v_{n} +O(v_{n} ^2 )} -1\right) = - \frac{\pi r}{2} +O(v_{n} ) \qquad (\bigstar).\] En particulier, $ \frac{1}{v_{n+1}} - \frac{1}{v_{n}} \rightarrow - \frac{\pi r}{2}$ donc $ \frac{1}{v_{n}} \sim - \frac{\pi rn}{2}$ par Cesàro, puis $v_{n} = O( \frac{1}{n} )$. En réinjectant dans $(\bigstar)$ et en sommant les grands $O$ (ce qui est licite ici) on en déduit \[ \frac{1}{v_{n}} = - \frac{\pi rn}{2} +O\!\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) = - \frac{\pi rn}{2} +O(\ln n).\] Donc $\displaystyle v_{n} = - \frac{2}{\pi rn} +O\bigg( \frac{\ln n}{n^2 } \bigg)$.

Bibix · May 2023

Bonjour,
En notant $f_r(x) = \frac{x}{|\cos(x)|^r}$, on a $f_r(x) - x \geqslant 0$, donc la suite est croissante. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $|\cos(\ell)| = 1$ donc $\ell = n \pi$ avec $n \in \N$. On sait donc que $u_n \to \pi$ si et seulement si $u_n \leqslant \pi$ pour tout $n$. Il reste à déterminer un sous-ensemble stable par $f$ contenant $1$ et majoré par $\pi$.

Boécien · May 2023

Merci Calli! Merci Bibix, on pourrait donc définir les ensembles $E_k$ tels que si $r$ est dans $E_k$ alors $u_n$ converge vers $k\pi$.

Calli · May 2023

Pour $r=0{,}3$, on a $u_3=3{,}73215436>\pi$. Donc d'après Bibix, $(u_n)$ ne tend pas vers $\pi$ pour $r=0{,}3$. Ça contredit la conjecture de Boécien.

gebrane · May 2023

Effacé, sans intérêt.

Calli · May 2023

Notons $(u_{r,n})_n$ la suite définie par $u_{r,0}=1$ et $u_{r,n+1}=f_r(u_{r,n})$ pour tout $n$. Ci-dessous, voici les graphes de $r\mapsto u_{r,n}$ pour tout $n\in\{1,\dots,5\}$ dans les couleurs noir, rouge, vert, bleu et rose dans l'ordre. Et le trait horizontal est la droite $y=\pi$.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/h2/i5r5m4umqjfr.png

Lorsque toutes ces courbes sont en-dessous de la droite horizontale, $u_{r,n}\to\pi$. Et sinon $u_{r,n}$ ne tend pas vers $\pi$.
Je conjecture qu'il existe une suite $(I_k)$ d'intervalles fermés disjoints et inclus dans $\Bbb R_+^*$ telle que : $\forall r>0,\; u_{r,n}\to \pi \Leftrightarrow r\in\bigcup_{k\in\Bbb N}I_k$. De plus, pour tout $k$, $I_{k+1}$ est à gauche de $I_k$, et $\inf\big(\bigcup_{k\in\Bbb N}I_k\big)=0$.

Boécien · May 2023

Cette représentation graphique permet de voir plus clair. Merci Calli. La valeur que j'ai donnée $r_0=0.5126..$ dans mon premier message doit être l'extrémité droite de ton intervalle $I_1$. Mais je pense que si $r>1$ cela ne converge pas.

SI $r=0.55$ cela converge visiblement vers $2\pi$.

SI $r=0.56$ cela converge visiblement vers $4\pi$.

Calli · May 2023

Boécien a dit :

La valeur que j'ai donnée $r_0=0.5126..$ dans mon premier message doit être l'extrémité droite de ton intervalle $I_1$.

Je suis d'accord.

Boécien a dit :

Mais je pense que si $r>1$ cela ne converge pas.

Pourtant pour $r=1{,}8$ et $n=1000$, on a $u_{r,n}\approx 3{,}1412$. En effet, $1{,}8\in I_0$.

Boécien · May 2023

@Calli Effectivement il y a des valeurs $>1$. Je trouve maintenant $r_0=1.859455271..$ comme valeur de l’extrémité droite de $I_0$ et qui est $r_0=-\dfrac{\log\pi}{\log\cos(1)}$.

Bibix · May 2023

On pose $r = \frac{-1}{x_m \tan(x_m)}$ avec $x_m \in ]\frac{\pi}{2}, \pi]$. Avec une étude simple de la fonction $f_r$, on constate que $f_r$ est strictement croissante sur $[0, \frac{\pi}{2}[$ et $]x_m, \pi]$ et strictement décroissante sur $]\frac{\pi}{2}, x_m]$. On a aussi $\underset{x \to \frac{\pi}{2}}{\lim} f_r(x) = +\infty$ et $f_r(0) = 0$ et $f_r(\pi) = \pi$ (ce sont les seuls points dans $[0, \pi]$ tel que $f_r(x) = x$). Ainsi, il existe $a_{0,r} \in [0, \frac{\pi}{2}[$ et $b_{0,r} \in ]\frac{\pi}{2}, x_m[$ tel que $f_r(a_{0,r}) = f_r(b_{0,r}) = \pi$.

En notant $f_r^{-1}$ la bijection réciproque de $f_r : x \in [0, \frac{\pi}{2}[ \longmapsto f_r(x)$, on peut définir les suites $a_{n+1, r} = f_r^{-1}(a_{n, r})$ et $b_{n+1, r} = f_r^{-1}(b_{n, r})$. On obtient alors que $u_{n, r} \to \pi$ si et seulement si $u_{1, r} \notin \bigcup_{n \in \N} [a_{n, r}, b_{n, r}]$. Je ne sais pas si ça peut nous aider.

Boécien · May 2023

Intéressant. Mais la fonction réciproque n'est pas facile à évaluer. Si ?

Autre conjecture.

Pour tout $k\geq1$ il existe $r>0$ tel que $u_n$ converge vers $k\pi$.

Bibix · May 2023

Cette conjecture est plus facile à prouver, il suffit de prendre $r = \frac{-\ln(k \pi)}{\ln(\cos(1))} > 0$. C'est vrai qu'évaluer $f_r^{-1}$ peut s'avérer difficile mais intuitivement, on a juste besoin de connaitre les $r$ tel que $u_{1,r} = 1 \in \{a_{n,r}, b_{n,r} \mid n \in \N\}$ donc on n'a peut-être pas besoin de le faire ($y = f_r^{-1}(x)$ ssi ($x = f(y)$ et $y \in [0, \frac{\pi}{2}[$).

Calli · May 2023

Je suis d'accord avec vous. Je vais plus ou moins reformuler ce qu'a dit Bibix. Je note $a_r$ et $b_r$ à la place des notations $a_{0,r}$ et $b_{0,r}$ de Bibix (ce sont les deux uniques points de $]0,\pi[$ tels que $f_r(a_r)=f_r(b_r)=\pi$ et $a_r<b_r$). Et je note $c_r$ au lieu de $x_m$ (c'est l'argmin de $f_r$ sur $[b_r,\pi]$).

On a une phase initiale durant laquelle $u_{r,n}\leqslant a_r$. C'est-à-dire qu'il existe un entier $N_r$ maximal tel que : $\forall n\in\{0,\dots,N_r-1\},$ $u_{r,n}\leqslant a_r$. Puisque $f_r$ envoie $[0,a_r]$ sur $[0,\pi]$ on a $u_{r,N_r}\in{]a_r,\pi]}$. Donc 3 cas sont possibles :

$\underline{u_{r,N_r}\in{]a_r,b_r[}\,:}$ Dans ce cas $u_{r,N_r+1}>\pi$ donc $(u_{r,n})_n$ ne converge pas vers $\pi$.
$\underline{u_{r,N_r}\in{[b_r,c_r[}\,:}$ Dans ce cas $u_{r,N_r+1}\in[f_r(c_r),\pi]\subset [c_r,\pi]$ donc $u_{r,n}\to\pi$ d'après le tiret suivant.
$\underline{u_{r,N_r}\in[c_r,\pi]\,:}$ Comme $[c_r,\pi]$ est stable par $f_r$, $(u_{r,n})_n$ est majorée par $\pi$, donc $u_{r,n}\to\pi$ d'après Bibix.

Voici des illustrations de ces 3 cas :

Donc $(u_{r,n})_n$ ne tend pas vers $\pi$ si et seulement s'il existe $n$ tel que $u_{r,n}\in{]a_r,b_r[}$ (et dans ce cas $n=N_r$). Ça permet de justifier l'affirmation suivante :

Bibix a dit :

En notant $f_r^{-1}$ la bijection réciproque de $f_r : x \in [0, \frac{\pi}{2}[ \longmapsto f_r(x)$, on peut définir les suites $a_{n+1, r} = f_r^{-1}(a_{n, r})$ et $b_{n+1, r} = f_r^{-1}(b_{n, r})$. On obtient alors que $u_{n, r} \to \pi$ si et seulement si $u_{1, r} \notin \bigcup_{n \in \N} [a_{n, r}, b_{n, r}]$. Je ne sais pas si ça peut nous aider.

Ensuite je comptais poursuivre l'analyse rigoureuse plus loin, mais ç'a l'air un peu chiant, donc je vais m'arrêter là finalement.

Calli · May 2023

Question : existe-t-il $r>0$ tel que $u_{r,n}$ est bien défini pour tout $n$ et $u_{r,n}\to\infty$ ?

Boécien · May 2023

Merci à vous deux. Pour la dernière question de Calli, il semble que c'est le cas avec $r=1$. Mais pas évident à prouver ! Je conjecture ici avec $r=1$ que $u_n^{1/n}$ tend vers $2$.

Calli · May 2023

Oui, je ne vois pas du tout comment le prouver.

Comportement asymptotique d'une suite

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