Série entière : sur les bornes de l'intervalle de convergence
Bonjour.
Un truc m'échappe.
On pose $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(x)x^n$. J'ai montré que le rayon est 1, et qu'il y a divergence grossière en 1 et -1.
On pose $g(x)=\sum_{n\geq1}a_nx^n$, où $a_1=-1$ et sinon $a_n=-\ln(1-1/n)-1/n$. J'ai montré qu'il y a convergence normale sur $[-1,1]$.
J'ai montré que $g(x)=(1-x)f(x)+\ln(1-x) \quad (1)$, pour $x\in\,]-1,1[$.
J'ai trouvé un équivalent de $f$ en $1$ : $f(x)\sim-\frac{\ln(1-x)}{1-x}$.
Puis on me demande un équivalent de $f$ en $-1$, mais avec $(1)$ et la convergence de $g$ en $-1$, $f$ devrait converger, non ?
Merci de m'aider à trouver la boulette.
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Réponses
C'est le même phénomène que pour la fonction développable en série entière $x\mapsto (1+x)^{-1}$ au voisinage de $x=1$.
Pour ta nouvelle question, je regarderais un peu plus tard si personne n’y a répondu.