Calcul d'intégrale
Soit $h$ la fonction $(x,t)\longrightarrow h(x,t)=\dfrac{xt\sin(t}{x^2-2x\cos(t)+1}$ et $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi}\frac{t\sin t(t)}{1-\cos(t)}.$
- Montrer que $I$ est convergente. Dans ce qui suit, nous présenterons deux méthodes de calcul de $I$.
- Montrer que l'application H: $x\rightarrow H(x)=\int_{0}^{\pi} \frac{xt\sin(t}{x^2-2x\cos(t)+1}dt$ est continue sur $[0,1].$
- Déterminer les suites $(s_n)$ vérifiant la relation de récurrence suivante :
$ \forall n \in \mathbb{N},\ s_{n+2}-2\cos(t)s_{n+1}+s_{n}=0$, pour $t \in\, ]0,\pi[.$ - Montrer que pour $t \in [0,\pi]$ l'application $x\rightarrow h(x,t)$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
Soit alors $\sum_0^{\infty} a_n(t)x^n$ ce développement en série entière et $R$ son rayon de convergence. - Déterminer l'expression des coefficients $a_n(t)$. Que peut-on dire de $R$ ?
- Soit $x\in\, ]0,1[$ fixé.
- Montrer que la série $t\rightarrow h(x,t)$ converge normalement sur $[0,\pi].$
- En déduire que $H$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
- Exprimer $H(x)$ à l'aide de fonctions élémentaires pour tout $x\in [0,1[.$
- En déduire la valeur de $I$.
- Montrer que $\phi$ est une application continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$.
- Monter que $\phi$ est une solution de (E) sur $]0,1[$.
- Retrouver la valeur de I.
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Réponses
Peux-tu corriger tes fautes dans l'énoncé ? Ensuite peux- tu expliquer pourquoi tu bloques à la question 1.