Intégrale, problème AMM 12407
Réponses
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FDPMême méthode. Tu coupes en 1 et tu fais $x=1/t$ sur l'intégrale entre 1 et l'infini. Tu atterris sur $$\int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}.$$
Ajout $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^{r-1}}{1+t^{2r}}=\Big[\frac {\arctan(t^r)}{r}\Big]_0^1$Le 😄 Farceur -
Bonjour
Je trouve $\dfrac{\pi }{4 r}.$ Du classique ! -
Tu fais comment bd 2017
Le 😄 Farceur -
Une IPP , pour avoir $\arctan(x^r).$ Changement de variable $x=u^{1/r},$ puis $u=1/y.$ L'arctan disparait. La dernière intégrale est facile.
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Ok merci , méthode différente de la mienne. Il nous reste la méthode de FDPLe 😄 Farceur
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@Gebrane: Tu ne fais pas disparaître $1/(1+x^2)$ en faisant ce que tu dis. \begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{x^{u+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}
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relis mon message, j'applique le changement à $\int_1^{+\infty}$
Le 😄 Farceur -
Si, \begin{align}J(r)=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\overset{u=1/x}=\int_0^\infty \frac{u^{r+1}}{(1+u^2)(1+u^{2r})}du\end{align}\begin{align}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx=\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx-\int_0^\infty\frac{x^{r+1}}{(1+x^2)(1+x^{2r})}dx\end{align}Donc, \begin{align}J(r)=\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{x^{r-1}}{1+x^{2r}}dx\end{align}
J'utilise l'identité,\begin{align}\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\end{align}PS.
Et, sans réfléchir, on peut terminer à coup de fonction Bêta. -
@Gebrane: Je n'avais pas vu que la somme se simplifiait pour donner ce que tu dis. Ce que j'ai raconté est sensiblement la même chose, en fait.
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Comme je l'avais pressenti cette intégrale est trop facile à calculer.
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La suivante ?
Le 😄 Farceur -
Le problème AMM 12407 se généralise sans difficultés à $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{a-1}dx}{(1+\lambda x^a+x^{2a})(1+x^b)}$ avec $a>0$, $b>0$ et $\lambda>-2$.
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Bonjour Jandri
As-tu traité cette généralisationà la gebrane ( On se ramène à $\int_0^1$)à la bd2017 ( On commence par une ipp)à la FDP ( On commence par le changement x=1/t sur $\int_0^{+\infty}$)Le 😄 Farceur -
Je l'ai traitée "à la FDP".
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Bonjour!
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