Pensez à un nombre entre 1 et 18.
Pour les petits apprenants voici un tour de magie.
On présente à un élève trois cartes.
Carte 1 : $1,2,2,4,5,5,7,8,8,10,11,11,13,14,14,16,17,17$
Carte 2 : $3,4,5,6,6,7,7,8,8,12,13,14,15,15,16,16,17,17$
Carte 3 : $9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,18$
Carte 1 : $1,2,2,4,5,5,7,8,8,10,11,11,13,14,14,16,17,17$
Carte 2 : $3,4,5,6,6,7,7,8,8,12,13,14,15,15,16,16,17,17$
Carte 3 : $9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,18$
À chaque carte, il doit dire si son nombre y figure et combien de fois.
On peut trouver le nombre inconnu immédiatement.
On peut trouver le nombre inconnu immédiatement.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Une seule carte suffit : $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,5,5,5,5,\text{etc.}$
Et si on s'autorise une somme de nombres pas forcément entiers, mais des nombres de la forme $\frac{n}{1000}$ par exemple, alors on voit que $e$ est vraiment présent dans cet exercice.
En base $b$ il faut $b$ chiffres pour écrire tous les nombres, et le nombre de chiffres pour coder un nombre $n$ est égal à $1+\lfloor \log_b(n) \rfloor$ : plus la base est grande plus le nombre total de chiffres est grand mais plus le nombre de chiffres pour coder un nombre est petit. On définit alors une quantité associée au codage en base $b$ par le produit $b \times (1+\lfloor \log_b(n) \rfloor).$ Quand $n$ est grand ce produit se comporte comme $b\times \ln(n)/\ln(b)$, une fonction de $b$ dont voici l'allure :
Hier je signalais un tour de magie avec trois cartes, en voici un avec quatre cartes.
On demande à une personne de choisir un élément de $F$ et de dire pour chacune des quatre cartes suivantes si la fraction y figure ou non.
Mais je ne trouvais pas de règle pour la présence sur les cartes 2, 3 ou 4 par rapport à leur absence.
Je propose un nouveau tour : on demande à une personne de choisir un entier parmi $\{1,3,5,7,8,9,12,13,16,17,20,21,22,30,38,46\}$ puis de dire pour chacune des quatre cartes suivantes si ce nombre y figure ou pas :
carte 1 : 1, 3, 5, 7, 8, 12, 16, 20
carte 2 : 1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21
carte 3 : 3, 7, 12, 13, 20, 21, 30, 46
carte 4 : 5, 7, 16, 17, 20, 21, 38, 46
Pareil : je n'ai pas vu les cartes, ni mémorisées, mais un petit calcul (faisable de tête) permet de retrouver cet entier.
- si $a=b=1$ je divise par $2$;
- si $a=b=0$ je multiplie par $2$;
- sinon je ne fais rien.
Enfin je soustrais $8$. L'entier est donc égal à $\frac{2(a+2b+4c+8d+15)}{(a+1)(b+1)}-8.$
Voici un autre tour avec 3 cartes, 12 nombres et la possibilité de mentir.
Si son nombre est à droite sur une carte et qu'elle ment elle dira gauche.
Si son nombre n'est pas sur la carte elle dira : rien ( qu'elle mente ou pas)
Si son nombre est à droite sur une carte et qu'elle ne ment pas, elle dira droite.
Carte 1 : gauche 4,8,10,11-------droite 1,2,5,7
Carte 2 : gauche 2,3,4,7 --------- droite 5,6,11,12
Carte 3 : gauche 5,6,9,10-------- droite 7,8,11,12
8 est le nombre et la personne ment
elle dira : droite, rien, gauche.
Amicalement