Ordre des produits d'éléments d'un groupe

OShine · May 2023

Bonsoir,

Je ne comprends pas le passage encadré.

JLapin · May 2023

Montre nous 1.3.9

Sinon, il y a une coquille évidente dans la dernière ligne.

Fin de partie · May 2023

Je pense que l'encadré est là pour illustrer que la condition que les éléments impliqués commutent deux à deux est vérifiée.

OShine · May 2023

@Fin de partie
Mon incompréhension n'est pas cette partie mais la partie sur l'intersection triviale.

OShine · May 2023

@JLapin
Soit $G$ un groupe et $H$ le sous ensemble des éléments d'ordre fini de $H$.
Montrer que si $x,y \in H$ commutent alors $xy \in H$ est d'ordre divisant le ppcm des ordres de $x$ et $y$.
Si de plus $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1 \}$ montrer que l'ordre de $xy$ est égal à ce PPCM.

Si $x,y \in H$ qui commutent et soit $m=PPCM(o (x),o(y))$.
Alors $x^m=y^m=1$ donc $(xy)^m=x^m y^m=1$ donc $xy$ est d'ordre fini divisant $m$.
Si $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1 \}$ et soit $k$ un entier tel que $(xy)^k=1$ soit $x^k y^k=1$.
Donc $x^k=y^{-k} \in \langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1 \}$.
Ainsi $x^k=y^k=1$ donc $k$ est multiple de $o(x)$ et de $o(y)$, il est donc multiple de $m$.
Finalement : $o(xy)=m$.

Mais je ne sais pas appliquer cet exercice pour $k$ cycles. Je ne comprends pas le corrigé avec le sous-groupe engendré par les $i$ premiers et celui engendré par le $i+1$ ième.

bd2017 · May 2023

@Oshine tu cherches les complications. Démontre le résultat directement sans passer l'indication de l'encadré. C'est plus simple et au moins cela sera ta démonstration.

OShine · May 2023

Soit $m=PPCM(n_1, \cdots, n_k)$.
Comme les $c_i$ commutent, on a : $\sigma^m=c_1^m \cdots c_k ^m=id$ donc $\boxed{o(\sigma) \mid m}$.
Réciproquement, soit $p \in \N$ tel que $\sigma^p=c_1 ^p \cdots c_k ^p=1$.
J'ai une idée pour la réciproque, je cherche encore un peu.

bd2017 · May 2023

OShine a dit :

Comme les $c_i$ commutent, on a : $\sigma^m=c_1^m \cdots c_k ^m =Id $

Il manque $=Id ? $

OShine · May 2023

Oui j'ai rectifié, je n'ai pas réussi la réciproque, j'ai essayé avec les $\langle c_i \rangle$ et le théorème de Lagrange mais je bloque.

$c_1 ^p \in \langle c_2, \cdots c_k \rangle \cap \langle c_1 \rangle$ etc..

OShine · May 2023

J'ai compris le corrigé de la question $2$, mais la $1$ je sèche complet.

bd2017 · May 2023

Pour la réciproque tu prends un élément de supp de c_1. Quel est son ordre? Qu' en déduis tu?

OShine · May 2023

J'essaie de suivre une technique que j'ai souvent vue dans les preuves sur l'ordre d'un produit.

Soit $p \in \N$ tel que $\sigma^p=id$. Alors $c_1 ^p =(c_2 ^p \cdots c_k ^p)^{-1}=c_k ^{-p} \cdots c_2 ^{-p}$.
Donc $c_1 \in \langle c_1 \rangle \cap \langle c_2, \cdots ,c_k \rangle$.
$ \langle c_1 \rangle \cap \langle c_2, \cdots ,c_k \rangle$ est un sous-groupe de $ \langle c_1 \rangle$ donc son cardinal divise $n_1$.
Je bloque ici.
Je voudrais montrer que $ \langle c_1 \rangle \cap \langle c_2, \cdots ,c_k \rangle = \{ id \}$ mais je n'y arrive pas.

@bd2017
Soit $x \in Supp \ c_1$ alors $o(x)=n_1$.
Pour la suite, je ne sais pas quoi faire.

bd2017 · May 2023

1. Tu veux appliquer une technique.... Oui, déjà faut comprendre la technique.
2. Et puis je ne comprends pas pourquoi chercher compliqué alors que la démonstration est simple.
L'ordre de $x$ vaut $n_1$ et tu ne vois pas quoi faire. Tu as fait 10000 fois plus d'algèbre que moi et tu ne vois pas qu'on en déduit que $n_1$ divise l'ordre de $\sigma$.

JLT · May 2023

Soient $c_1,\ldots,c_k$ des cycles disjoints d'ordres $n_1,\ldots,n_k$, et soit $\sigma=c_1\cdots c_k$. Pour tout $i$ et $x\in\mathrm{supp}(c_i)$ et tout entier $j$, on a $\sigma^j(x)=c_i^j(x)$ donc $\sigma^j=\mathrm{Id}\iff \forall i\,\forall x\in\mathrm{supp}(c_i)\; c_i^j(x)=x\iff\forall i,\, c_i^j=\mathrm{id}\iff\forall i,\; n_i\mid j\iff\mathrm{ppcm}(n_1,\ldots,n_k)\mid j.$

Fin de partie · May 2023

@OShine : Tu as compris ce qu'était le support d'une permutation (un cycle est une permutation)?

Si on voit une permutation comme une bijection d'un ensemble à $n$ éléments, il est évident que deux permutations qui ont des supports disjoints commutent: si tu commences à peindre en rouge la partie droite d'une toile puis tu peins la partie gauche en bleu tu obtiens le même résultat en faisant le contraire c'est-à-dire, commencer par peindre la partie gauche en bleu.

PS.
Si une permutation est égale à un produit de cycles ayant des supports deux à deux disjoints, il est évident que s'il y a $n$ cycles dans le produit, si tu en prends $k<n$, et que tu en considères un de plus qui est aucun des $k$ précédents, le sous-groupe engendré par les $k$ premiers a une intersection triviale avec le sous-groupe engendré par celui qu'on a considéré en plus.

Si ce n'était pas le cas, cela voudrait dire qu'il y a une permutation qui a un support qui est contenu dans l'intersection de la réunion des supports des $k$ premiers cycles et du support du cycle rajouté, mais l'hypothèse faite que les supports de tous les cycles sont deux à deux disjoints montre que cette intersection est vide. Une permutation dont le support est l'ensemble vide est l'identité dans le monde des permutations, sauf erreur.

OShine · May 2023

JLT

Merci, ta preuve est plus claire que celle du livre.

[Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]

lourrran · May 2023

Encore heureux qu'une preuve écrite sur mesure pour un étudiant particulièrement atypique soit plus adaptée qu'une preuve écrite 'en prêt à porter' pour un étudiant normal !

OShine · May 2023

@Fin de partie
Les phrases c'est beau mais je n'arrive pas trop à comprendre les démos avec des phrases.
Quand je calcule et regarde je n'arrive pas à démontrer que $ \langle c_2, \cdots c_k \rangle \cap \langle c_1 \rangle= \{ id \}$
J'ai essayé de prendre $f \ne id$ qui appartient à l'intersection alors $f=c_1 ^p = c_2 ^{q_2} \cdots c_k ^{q_k}$ mais je n'ai pas réussi à raisonner avec les supports à cause des puissances.

NicoLeProf · May 2023

Soit $f \in \langle c_2, \cdots c_k \rangle \cap \langle c_1 \rangle$, alors on peut écrire $f=c_1^p=c_2^{q_2} \cdots c_k ^{q_k}$ .

Comme bd te l'a suggeré au-dessus, si $x \in supp$ $c_1$,
alors $c_1(x) \neq x$ donc $c_2^{q_2} \cdots c_k ^{q_k}(x)=x$ puisque les cycles $c_i$ sont à supports deux à deux disjoints.

Donc $c_1^p(x)=x$ .

Si $x \notin supp$ $c_1$ , $c_1^p(x)=x$ .

Donc $c_1^p=id=f$ (et $n_1 | p $). (Ce qui rejoint un bout de la preuve de JLT).

OShine · May 2023

Merci @NicoLeProf morale de l'exo, à chaque fois il faut prendre $x$ dans un support et calculer $f(x)$.

NicoLeProf · May 2023

Je ne sais pas ce que tu entends par "à chaque fois". Il n'y a pas de "recette" miracle. Quand tu as un exo/une preuve de cours à travailler, essaie d'utiliser les hypothèses que l'on te donne et de réfléchir sur des petites valeurs/petits exemples si tu ne vois pas ce qu'il se passe. Et n'aies pas peur du groupe symétrique: ce n'est pas si terrible (même si je me suis planté une fois en te répondant lol ^^')

OShine · May 2023

Oui en fait j'avais $\sigma^p=1$ et je restais bloqué alors que j'aurais dû penser à calculer $\sigma^p (x)$ en prenant $x$ dans le support d'un des $c_i$.
D'ailleurs la preuve de JLT ressemble à des raisonnements que j'ai souvent vus en arithmétique.
Il me reste la partie sur la signature du cours et 8-10 exercices sur la signature et le groupe alterné.
Parfois il y a des choses qui nous semblent très dures au départ, puis avec la pratique et le recul ça devient de plus en plus simple.

JLapin · May 2023

OShine a dit :

@Fin de partie Les phrases c'est beau mais je n'arrive pas trop à comprendre les démos avec des phrases.

C'est une pépite celle-là...

Fin de partie · May 2023

@Jlapin: tu isoles la phrase de son contexte.

JLapin · May 2023

Ah bon ?

Fin de partie · May 2023

@Jlapin: je pense qu'il faisait référence à cette partie d'un de mes messages:

Si on voit une permutation comme une bijection d'un ensemble à n

éléments, il est évident que deux permutations qui ont des supports disjoints commutent: si tu commences à peindre en rouge la partie droite d'une toile puis tu peins la partie gauche en bleu tu obtiens le même résultat en faisant le contraire c'est-à-dire, commencer par peindre la partie gauche en bleu.

Ordre des produits d'éléments d'un groupe

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