Même point de Miquel
Bonjour,
1. ABC un triangle
2. H l'orthocentre
3. L, M deux
transversales perpendiculaires issues de H.
Question : relativement
à ABC, L et M conduisent au même point de Miquel M.
Merci pour votre aide pour la figure.
pappus as-tu une idée ?
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
merci pour cette idée...
Personnellement, je cherche une preuve sans conique...as-tu une idée?
Sincères amitiés
Jean-Louis
après quelques recherches, c'est possible synthétiquement...j'ai des notations à changer...en cours de rédaction...
Sincèrement
Jean-Louis
Avec les mêmes notations que dans les fils précédents, ce point de Miquel commun $Mi(mi)$ a pour affixe $mi=\dfrac{s_3(u^4+s_1s_3)}{s_2u^4+s_3^2}$.
Cordialement,
Rescassol
Les cercles sont construits de manière similaire, ce qui en donne deux de plus.
Cordialement,
La construction aurait été plus esthétique si j'avais remplacé les indices 1,2 et 3 de A et B par a, b et c, donnant alors pour les cercles les associations ABC, AaAbC, BaBbC, AaBAc, BaBbC.
A1 et B1 les intersections de (C1) et (C2),
A2 et B2 les intersection de (C2) et (C3),
A3 et B3 les intersections de (C3) et (C4) et
A4 et B4 les intersections de (C1) et (C4),
Si A1, A2, A3, A4 sont cocycliques,
Jean-Pol Coulon
pour vos deux figures
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol2.html puis Du théoème de Reim au théorème des six cercles.
Sincèrement
Jean-Pol
Merci pour le développement détaillé ... que je n'ai pas réussi à appliquer dans le problème présent.
L'énoncé que je donne du théorème de Miquel aurait dû être :
Les points A1, A2, A3, A4 sont cocycliques ou alignés si et seulement s'il en est de même des points B1, B2, B3, B4.
Encore merci,
Jean-Pol Coulon
Une propriété algébrique.
Le rapport des aires des disques associés aux paires de cercles construits de manière analogue par un même sommet du triangle ABC est constant : a'/a" = b'/b" = c'/c".
Est-ce une propriété générale des paires de triplets de cercles passant par un même point de Miquel, pour autant que ces paires de cercles soient construites pour chaque triplet de cercles selon la même logique, quelqu'elle soit ?
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Droz-Farny 1..pdf
avec une nouvelle preuve synthétique de la droite de Droz-Farny.
Jean-Louis