Hypothèse polynôme minimal

J'ai une autre question sur cette atteinte de $M_u$ par $M_{u,x}$ pour un certain $x\in E$.
Je connais la preuve classique à l'aide du lemme de mon premier message plus haut et du fait que $(M_{u,x}\wedge M_{u,y}=1\implies M_{u,x+y}=M_{u,x}M_{u,y})$.
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Apparemment, il existe une autre preuve dans le cas où $\mathbb K$ est infini et du résultat $(\star)$ sur la réunion de sous-espaces stricts mais même en essayant de bricoler à l'aide du lemme des noyaux, je n'arrive pas à conclure.
On écrit la décomposition de $M_u$ en produit de facteurs irréductibles unitaires : $M_u=P_1^{\alpha_1}\cdots P_r^{\alpha_r}$.
Je sais qu'avec le lemme des noyaux $(\star\star)$ $E=\underset{1\leqslant i\leqslant r}\bigoplus\ker(P_i^{\alpha_i}(u))$ et que d'après $(\star)$, comme $\mathbb K$ est infini, il existe $x\in E\setminus\Big(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant r}\ker(P_i^{\alpha_i}(u))\Big)$.
Je ne sais pas si je suis sur la bonne piste mais ensuite je n'arrive pas à montrer que $M_u=M_{u,x}$. Il suffirait de montrer $M_u$ divise $M_{u,x}$ i.e. que pour tout $y\in E$, $M_{u,x}(u)(y)=0$. Même en décomposant $y$ dans $(\star\star)$ ça ne me donne rien car on ne connaît pas la décomposition de $M_{u,x}$...