Soit E un e.v sur $\R$ ou $\C$ muni d'un produit scalaire $<.,.>$ . On prend la norme Euclidienne comme norme sur E. Soit $f,g I\to E$ dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$ et posons $h(t)=<f(t), g(t)>$.
1)Démontre que $h$ est continue sur $I$
2)Démontre que $h$ est dérivable sur $I$ et calcule $h'(t)$
Voilà j'ai besoin de ton avis sur cette question. Il s'agit de justifier d'une formule de l'exponentielle d'un endomorphisme.
J'ai proposé 2 solutions. Je voudrais ton avis sur celle qui se passe sur une double somme dont une infinie. Ma question est la suivante : l'argument de continuité des projecteurs et de l'identité $p_i$ et $q_i$ suffisent-elles pour utiliser la somme infinie ? Je voudrais savoir ce que tu aurais fait à cette question pour une écriture impeccable et rigoureuse.
Soit E un e.v sur $\R$ ou $\C$ muni d'un produit scalaire $<.,.>$ . On prend la norme Euclidienne comme norme sur E. Soit $f,g I\to E$ dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$ et posons $h(t)=<f(t), g(t)>$.
1)Démontre que $h$ est continue sur $I$
2)Démontre que $h$ est dérivable sur $I$ et calcule $h'(t)$
@gebrane Je vais essayer de répondre à ta question.
1) Bon
soit $a \in I$. $h$ est continue en $a$ ssi $\forall \epsilon > 0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall t \in I$, $|t-a|<\alpha$, $|h(t)-h(a)| < \epsilon$
Pour parodier quelqu'un, je trouve que la question du @violoncelliste "c'est du chinois." Maintenant la question s'adressant à monsieur le lapin , nous aurons peut être une explication plus claire.
Le problème est que tu es certain que je suis mangeur des annales et que je suis certain que bd2017 = le violoniste. Donc bd2017 le rusé a posé cette question au nom de son cousin le violoniste cette question pour comprendre. Note salut et seul espoir est Jlapin
Non je ne suis pas le violoniste. D'ailleurs je ne sais pas poser des questions aussi sophistiquées. Le sujet n'avance plus. Tu fais un détournement de l'attention parce que tu bloques ?
2) Allez je veux bien essayer la question sur la dérivation
Je veux évaluer : pour t dans $I$ et u dans $I$ avec $t+u$ dans $I$ ; $(h(t+u)-h(t))/u = (<f(t+u),g(t+u)>-<f(t),g(t))>)/u \leq ||f(t+u)-f(t)||.||g(t+u)-g(t))||/u$
Or avec un DL adéquat : $h(t+u)-h(t)=uf'(t) + o_0(u)$ alors $(h(t+u)-h(t))/u \leq u.||f'(t)||.u.||g'(t)|| /u \leq u.||f'||_{\infty}||g'||_{\infty}$
D'où la dérivablité.
@MangeurAnnales : Voilà , finit-nous ce sujet MP ennuyeux. Merci à toi !
Je vais me faire tirer dessus par @Alexique mais ce n'est pas grave, il a l'habitude de réagir.
Je reviens à ma question sur le calcul de l'intégrale $b(x,a(x))$. Dans la question $x \in \mathbb{R}^n$
Le problème est la justification de la dérivation du produit scalaire. $(<f,g>)'=<f',g>+<f,g'>$
Je veux justifier cela de manière impeccable.
Alors je pose $F$ et $G$ de fonctions vectorielles $I \mapsto \mathbb{R}^p$, $\forall x \in I$, $<f(x),g(x)>=F(x).G(x)$ je passe en fait aux coordonnées.
J'ai : $<f(x),g(x)>=f_1(x).g_1(x)+\cdots+f_p(x).g_p(x)$ et je dérive : $(<f(x),g(x)>)'=f_1'(x).g_1(x)+f_1(x).g_1'(x)+\cdots+f_p(x).g_p(x)+f_p'(x).g_p'(x)=F'(x).G(x)+F(x).G'(x)=<f'(x),g(x)>+<f(x),g'(x)>$
Et là je reviens à notre question : $(<e^{ta}(x),e^{ta}(x)>)'=2<e^{ta}(x),(e^{ta}(x))'>=2<e^{ta}(x),(e^{ta}(x)) \circ a(x)>$
Ici avec C15. on a la convergence de l'intégrale du produit scalaire qui impose : $lim_{t \mapsto +\infty} <e^{ta}(x),e^{ta}(x)> = lim_{t \mapsto +\infty} ||e^{ta}(x)||^2 = 0$. Il reste $2b(x,a(x))=-<e^{0}(x),e^{0}(x)>=-||x||^2=dq(x)\circ a(x)$.
Mon cousin, tu dois traiter l'exercice en toute sa généralité, tu ne peux pas passé en coordonnées, tes fonctions sont à valeurs dans un espace E préhilbertien
De manière formelle : $\forall x \in \mathbb{R}^n$, $q(x)=b(x,x)$.
Si on dit que $f_{x_0}$ est une fonction de $t$, je peux écrire $q(f_{x_0}(t))=b(f_{x_0}(t),f_{x_0}(t))$ mais ce n'est pas $q(f_{x_0})(t)$. Pour moi c'est différent. Donc là ça commence mal.
Une autre possibilité est la composition : $ q \circ f_{x_0} (x) = b(f_{x_0}(x),f_{x_0}(x))$. c'est pareil que ce que j'ai écrit
Réecrit avec les variables de l'énoncé : $\forall t \in \mathbb{R}^+, (q \circ f_{x_0})' (t) =-||f_{x_0}(t)||^2+2b(f_{x_0}(t),\epsilon(f_{x_0})(t))$
En conclusion les notations de l'énoncé c'est vraiment de la m..... et d'ailleurs je pense que leur écriture $\epsilon((f_{x_0}(t))$ est forcément fausse, bref quelle honte ! L'écriture $a=d\phi(0)$ est fausse aussi ...
@gebrane Quant à toi mon ami, quand tu dis que la question est facile, qu'il faut détecter les erreurs d'énoncé, attention que je ne te croises pas de si tôt car j'ai galéré 30min sur cette question.
C18. Cauchy-Schwarz et/ou l'équivalence de norme en dimension finie ? On verra demain. Je vais chercher ton exo sur feuille @gebrane et je te réponds demain. À bientôt l'ami.
Bonjour @gebrane je suis un peu déçu du manque d'intérêt pour des sujets de concours. Pour moi c'est stimulant mais bon à part OShine qui fait des sujets il n'y a pas grand monde finalement. Quel est le but des forumeurs en général ? Est-ce que ce type de sujet est trop facile ? Je suis dans le brouillard.
Bonjour @gebrane je suis un peu déçu du manque d'intérêt pour des sujets de concours.
C'est souvent très long, parfois très mal posé et le coût d'entrée pour répondre ou aider quelque à répondre à la question 26 qui est peut-être une question intéressante est à mon avis trop important.
Quant à relire des pages et des pages de réponses sur des questions essentiellement triviales, ça s'appelle une correction de copie et c'est objectivement très chiant.
@JLapin La plupart de ce bas monde n'a pas ton niveau en maths ... Tu dois être un normalien. Les épreuves ont été considérées difficiles par les taupins.
Tout est loin d'être trivial.
Et puis je voulais que d'autres personnes cherchent en même temps mais la plupart des gens s'en fichent. Qu'est-ce qui plaît au gens ? Un peu les épreuves d'agrégation. Et encore ...
Méthode 1. Soit $t \in I $ , $t+\tau \in I$ alors $\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau)-f(t),g(t+\tau)-g(t)>}{\tau}$. Puis j'utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $| \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} | \leq \frac{||f(t+\tau)-f(t)||.||g(t+\tau)-g(t)||}{\tau}$ Ensuite la dérivabilité d'une fonction $f$ en $x_0$ s'écrit : $\exists \epsilon$ une fonction telle que $\epsilon(h) \mapsto 0$ qd $h \mapsto 0$ et $f(x_0+h)=f(x_0)+h.f'(x_0)+h.\epsilon(h)$ Et donc je choisis 2 applications $\exists \epsilon_f$ et $\exists \epsilon_g$. $\forall t \in I$, $f(t+\tau)-f(t)=\tau.f'(t)+\tau.\epsilon_f(\tau)$ idem pour $g$, $g(t+\tau)-g(t)=\tau.g'(t)+\tau.\epsilon_g(\tau)$ $| \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} | \leq \frac{||\tau.f'(t)+\tau.\epsilon_f(\tau)||.||\tau.g'(t)+\tau.\epsilon_g(\tau)||}{\tau} \leq \tau.sup|f'|_I+\tau.sup|g'|_I+o_0(\tau)$
Ce n'est pas ce qu'on veut : c'est faux car la dérivée en $t$ est toujours nulle. Il faut faire apparaître le produit scalaire de fonctions dérivées.
Est-ce que c'est plutôt cela que tu veux mon cousin ? $\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t+\tau),g(t)>+<f(t+\tau),g(t)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)-g(t)>+<f(t+\tau)-f(t),g(t)>}{\tau}=<f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>$ Puis je passe à la limite par continuité du produit scalaire : $\tau \mapsto 0$ : $\lim_{\tau \mapsto 0} \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} = \lim_{\tau \mapsto 0} <f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>\, =\, <f(t),g'(t)>+<f'(t),g(t)>$.
Méthode 2. $h(t)=\phi \circ \psi (t)$ $\psi : \, I\to E\times E,\quad \psi(t)=(f(t),g(t))$ $\phi: \, E\times E \to R,\quad \phi(x,y)=\,<x,y>$ La formule de la différentielle en $t$ donne $\forall t \in I$ $Dh(t)=D\phi \circ \psi (t)=D\phi(\psi (t)) \circ D\psi (t)$ Or pour $h,k \in E$, $\phi(x+h,y+k)=<x+h,y+k>=<x,y>+<x,k>+<h,y>+<h,k>$ alors $D\phi(h,k)=<x,k>+<h,y>$ car $<h,k>=o_{(0,0)}(h,k)$ $D\phi(t)=\phi'(t)=(f('t),g'(t))$. Alors $Dh(t)=D\phi(\psi (t)) \circ D\psi (t)=D\phi(f(t),g(t)) \circ \phi'(t)=(<x,g(t)>+<f(t),y>) \circ (f('t),g'(t)) = <f'(t),g(t)>+<f(t),g'(t)>$.
@gebrane Tu me fais réviser le calcul diff cousin ?
Méthode 3 : je propose car @bd2017 s'est endormi avec le MangeurAnnales. Différentier : $||f(t)||^2$ par composition de fonction. @bd2017À toi la plume !
Réponses
Le sujet n'avance plus. Tu fais un détournement de l'attention parce que tu bloques ?
Avec une rédaction parfaite selon les critères de ton jumeau le @musicien.
Ça me plaît !
Cauchy-Schwarz et/ou l'équivalence de norme en dimension finie ? On verra demain.
Je vais chercher ton exo sur feuille @gebrane et je te réponds demain. À bientôt l'ami.
Mon esprit a comblé le manque des parenthèses. Tu fais mieux que mon cousin mangeur des annales.
Quel est le but des forumeurs en général ?
Est-ce que ce type de sujet est trop facile ?
Je suis dans le brouillard.
Je vais bientôt arriver au bout du sujet.
Soit $t \in I $ , $t+\tau \in I$ alors $\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau)-f(t),g(t+\tau)-g(t)>}{\tau}$.
Puis j'utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
$| \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} | \leq \frac{||f(t+\tau)-f(t)||.||g(t+\tau)-g(t)||}{\tau}$
Ensuite la dérivabilité d'une fonction $f$ en $x_0$ s'écrit : $\exists \epsilon$ une fonction telle que $\epsilon(h) \mapsto 0$ qd $h \mapsto 0$ et $f(x_0+h)=f(x_0)+h.f'(x_0)+h.\epsilon(h)$
Et donc je choisis 2 applications $\exists \epsilon_f$ et $\exists \epsilon_g$. $\forall t \in I$,
$f(t+\tau)-f(t)=\tau.f'(t)+\tau.\epsilon_f(\tau)$ idem pour $g$, $g(t+\tau)-g(t)=\tau.g'(t)+\tau.\epsilon_g(\tau)$
$| \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} | \leq \frac{||\tau.f'(t)+\tau.\epsilon_f(\tau)||.||\tau.g'(t)+\tau.\epsilon_g(\tau)||}{\tau} \leq \tau.sup|f'|_I+\tau.sup|g'|_I+o_0(\tau)$
Il faut faire apparaître le produit scalaire de fonctions dérivées.
$\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t+\tau),g(t)>+<f(t+\tau),g(t)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)-g(t)>+<f(t+\tau)-f(t),g(t)>}{\tau}=<f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>$
Puis je passe à la limite par continuité du produit scalaire : $\tau \mapsto 0$ : $\lim_{\tau \mapsto 0} \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} = \lim_{\tau \mapsto 0} <f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>\, =\, <f(t),g'(t)>+<f'(t),g(t)>$.
$h(t)=\phi \circ \psi (t)$
$\psi : \, I\to E\times E,\quad \psi(t)=(f(t),g(t))$
$\phi: \, E\times E \to R,\quad \phi(x,y)=\,<x,y>$
La formule de la différentielle en $t$ donne $\forall t \in I$
$Dh(t)=D\phi \circ \psi (t)=D\phi(\psi (t)) \circ D\psi (t)$
Or pour $h,k \in E$, $\phi(x+h,y+k)=<x+h,y+k>=<x,y>+<x,k>+<h,y>+<h,k>$ alors $D\phi(h,k)=<x,k>+<h,y>$ car $<h,k>=o_{(0,0)}(h,k)$
$D\phi(t)=\phi'(t)=(f('t),g'(t))$. Alors $Dh(t)=D\phi(\psi (t)) \circ D\psi (t)=D\phi(f(t),g(t)) \circ \phi'(t)=(<x,g(t)>+<f(t),y>) \circ (f('t),g'(t)) = <f'(t),g(t)>+<f(t),g'(t)>$.
Différentier : $||f(t)||^2$ par composition de fonction. @bd2017À toi la plume !