Ordre des produits d'éléments d'un groupe
Réponses
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Montre nous 1.3.9Sinon, il y a une coquille évidente dans la dernière ligne.
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Je pense que l'encadré est là pour illustrer que la condition que les éléments impliqués commutent deux à deux est vérifiée.
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@Fin de partie
Mon incompréhension n'est pas cette partie mais la partie sur l'intersection triviale. -
@JLapin
Soit $G$ un groupe et $H$ le sous ensemble des éléments d'ordre fini de $H$.
Montrer que si $x,y \in H$ commutent alors $xy \in H$ est d'ordre divisant le ppcm des ordres de $x$ et $y$.
Si de plus $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1 \}$ montrer que l'ordre de $xy$ est égal à ce PPCM.
Si $x,y \in H$ qui commutent et soit $m=PPCM(o (x),o(y))$.
Alors $x^m=y^m=1$ donc $(xy)^m=x^m y^m=1$ donc $xy$ est d'ordre fini divisant $m$.
Si $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1 \}$ et soit $k$ un entier tel que $(xy)^k=1$ soit $x^k y^k=1$.
Donc $x^k=y^{-k} \in \langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1 \}$.
Ainsi $x^k=y^k=1$ donc $k$ est multiple de $o(x)$ et de $o(y)$, il est donc multiple de $m$.
Finalement : $o(xy)=m$.
Mais je ne sais pas appliquer cet exercice pour $k$ cycles. Je ne comprends pas le corrigé avec le sous-groupe engendré par les $i$ premiers et celui engendré par le $i+1$ ième. -
Soit $m=PPCM(n_1, \cdots, n_k)$.
Comme les $c_i$ commutent, on a : $\sigma^m=c_1^m \cdots c_k ^m=id$ donc $\boxed{o(\sigma) \mid m}$.
Réciproquement, soit $p \in \N$ tel que $\sigma^p=c_1 ^p \cdots c_k ^p=1$.
J'ai une idée pour la réciproque, je cherche encore un peu.
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Oui j'ai rectifié, je n'ai pas réussi la réciproque, j'ai essayé avec les $\langle c_i \rangle$ et le théorème de Lagrange mais je bloque.
$c_1 ^p \in \langle c_2, \cdots c_k \rangle \cap \langle c_1 \rangle$ etc.. -
J'ai compris le corrigé de la question $2$, mais la $1$ je sèche complet.
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Pour la réciproque tu prends un élément de supp de c_1. Quel est son ordre? Qu' en déduis tu?
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J'essaie de suivre une technique que j'ai souvent vue dans les preuves sur l'ordre d'un produit.
Soit $p \in \N$ tel que $\sigma^p=id$. Alors $c_1 ^p =(c_2 ^p \cdots c_k ^p)^{-1}=c_k ^{-p} \cdots c_2 ^{-p}$.
Donc $c_1 \in \langle c_1 \rangle \cap \langle c_2, \cdots ,c_k \rangle$.
$ \langle c_1 \rangle \cap \langle c_2, \cdots ,c_k \rangle$ est un sous-groupe de $ \langle c_1 \rangle$ donc son cardinal divise $n_1$.
Je bloque ici.
Je voudrais montrer que $ \langle c_1 \rangle \cap \langle c_2, \cdots ,c_k \rangle = \{ id \}$ mais je n'y arrive pas.
@bd2017
Soit $x \in Supp \ c_1$ alors $o(x)=n_1$.
Pour la suite, je ne sais pas quoi faire.
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1. Tu veux appliquer une technique.... Oui, déjà faut comprendre la technique.
2. Et puis je ne comprends pas pourquoi chercher compliqué alors que la démonstration est simple.
L'ordre de $x$ vaut $n_1$ et tu ne vois pas quoi faire. Tu as fait 10000 fois plus d'algèbre que moi et tu ne vois pas qu'on en déduit que $n_1$ divise l'ordre de $\sigma$. -
Soient $c_1,\ldots,c_k$ des cycles disjoints d'ordres $n_1,\ldots,n_k$, et soit $\sigma=c_1\cdots c_k$. Pour tout $i$ et $x\in\mathrm{supp}(c_i)$ et tout entier $j$, on a $\sigma^j(x)=c_i^j(x)$ donc $\sigma^j=\mathrm{Id}\iff \forall i\,\forall x\in\mathrm{supp}(c_i)\; c_i^j(x)=x\iff\forall i,\, c_i^j=\mathrm{id}\iff\forall i,\; n_i\mid j\iff\mathrm{ppcm}(n_1,\ldots,n_k)\mid j.$
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@OShine : Tu as compris ce qu'était le support d'une permutation (un cycle est une permutation)?Si on voit une permutation comme une bijection d'un ensemble à $n$ éléments, il est évident que deux permutations qui ont des supports disjoints commutent: si tu commences à peindre en rouge la partie droite d'une toile puis tu peins la partie gauche en bleu tu obtiens le même résultat en faisant le contraire c'est-à-dire, commencer par peindre la partie gauche en bleu.PS.
Si une permutation est égale à un produit de cycles ayant des supports deux à deux disjoints, il est évident que s'il y a $n$ cycles dans le produit, si tu en prends $k<n$, et que tu en considères un de plus qui est aucun des $k$ précédents, le sous-groupe engendré par les $k$ premiers a une intersection triviale avec le sous-groupe engendré par celui qu'on a considéré en plus.Si ce n'était pas le cas, cela voudrait dire qu'il y a une permutation qui a un support qui est contenu dans l'intersection de la réunion des supports des $k$ premiers cycles et du support du cycle rajouté, mais l'hypothèse faite que les supports de tous les cycles sont deux à deux disjoints montre que cette intersection est vide. Une permutation dont le support est l'ensemble vide est l'identité dans le monde des permutations, sauf erreur. -
Encore heureux qu'une preuve écrite sur mesure pour un étudiant particulièrement atypique soit plus adaptée qu'une preuve écrite 'en prêt à porter' pour un étudiant normal !Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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@Fin de partie
Les phrases c'est beau mais je n'arrive pas trop à comprendre les démos avec des phrases.
Quand je calcule et regarde je n'arrive pas à démontrer que $ \langle c_2, \cdots c_k \rangle \cap \langle c_1 \rangle= \{ id \}$
J'ai essayé de prendre $f \ne id$ qui appartient à l'intersection alors $f=c_1 ^p = c_2 ^{q_2} \cdots c_k ^{q_k}$ mais je n'ai pas réussi à raisonner avec les supports à cause des puissances.
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Soit $f \in \langle c_2, \cdots c_k \rangle \cap \langle c_1 \rangle$, alors on peut écrire $f=c_1^p=c_2^{q_2} \cdots c_k ^{q_k}$ .Comme bd te l'a suggeré au-dessus, si $x \in supp$ $c_1$,
alors $c_1(x) \neq x$ donc $c_2^{q_2} \cdots c_k ^{q_k}(x)=x$ puisque les cycles $c_i$ sont à supports deux à deux disjoints.Donc $c_1^p(x)=x$ .Si $x \notin supp$ $c_1$ , $c_1^p(x)=x$ .Donc $c_1^p=id=f$ (et $n_1 | p $). (Ce qui rejoint un bout de la preuve de JLT). -
Merci @NicoLeProf morale de l'exo, à chaque fois il faut prendre $x$ dans un support et calculer $f(x)$.
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Je ne sais pas ce que tu entends par "à chaque fois". Il n'y a pas de "recette" miracle. Quand tu as un exo/une preuve de cours à travailler, essaie d'utiliser les hypothèses que l'on te donne et de réfléchir sur des petites valeurs/petits exemples si tu ne vois pas ce qu'il se passe. Et n'aies pas peur du groupe symétrique: ce n'est pas si terrible (même si je me suis planté une fois en te répondant lol ^^')
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Oui en fait j'avais $\sigma^p=1$ et je restais bloqué alors que j'aurais dû penser à calculer $\sigma^p (x)$ en prenant $x$ dans le support d'un des $c_i$.
D'ailleurs la preuve de JLT ressemble à des raisonnements que j'ai souvent vus en arithmétique.
Il me reste la partie sur la signature du cours et 8-10 exercices sur la signature et le groupe alterné.
Parfois il y a des choses qui nous semblent très dures au départ, puis avec la pratique et le recul ça devient de plus en plus simple.
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OShine a dit :@Fin de partie Les phrases c'est beau mais je n'arrive pas trop à comprendre les démos avec des phrases.
C'est une pépite celle-là...
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@Jlapin: tu isoles la phrase de son contexte.
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Ah bon ?
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@Jlapin: je pense qu'il faisait référence à cette partie d'un de mes messages:Si on voit une permutation comme une bijection d'un ensemble à néléments, il est évident que deux permutations qui ont des supports disjoints commutent: si tu commences à peindre en rouge la partie droite d'une toile puis tu peins la partie gauche en bleu tu obtiens le même résultat en faisant le contraire c'est-à-dire, commencer par peindre la partie gauche en bleu.
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