Bjr 1. En posant $S_n=\sum_{p=0}^n {u_p}$ la suite $S_n$ converge donc est de Cauchy. On en déduit que $S_{2n}-S_n$ tend vers $0.$ Il vient $0\leq n u_{2n} \leq S_{2n}-S_n.$ Je te laisse exploiter ceci pour finir.
Edit: Je n'avais pas vu le message de @Noobey.. Désolé j'en ai dit un peu plus.
@bd2017 OK, j'ai compris, on montre ainsi que $\frac{u_n} {1/n}$ tend vers $0$ En quoi l'hypothèse "à termes strictement positifs" est nécessaire ? Et pour la 2 ème question, je suppose qu'il faut avoir une suite croissante pour $u_n$ ?
Une suite décroissante dont au moins un terme est négatif ou nul... c'est soit une suite nulle à partir d'un certain rang, soit le terme général d'une série grossièrement divergente.
L'hypothèse de termes strictement positifs est indispensable, ne serait-ce que pour l'encadrement que j'ai donné.
Le contraire de "décroissant", ce n'est certainement pas "croissant." d'autant plus que si la suite $u_n$ est croissante, elle ne vas pas tendre vers 0.
Pour un contrexe-emple j'essaierais $u_n=\dfrac{1}{n^2}$ sauf pour "des $n$" où on prendrait $u_n=\dfrac{1}{n}.$ Bien entendu, pour qu'il y ait convergence il faut que les indices $n$ tels que $u_n=\dfrac{1}{n}$ soient de plus en plus éloignés.
Il faut travailler un peu pour mettre cette idée au propre.
@Math Coss Dans ce cas, il n'est pas forcément nécessaire de le préciser dans l'énoncé puisqu'on dit que la série converge. On précise juste $u_n$ positive?
@bd2017 L'encadrement ne serait pas possible si $u_n$ nul à partir d'un certain rang ?
Pour 2), Il faudrait pendre une suite ni croissante ni décroissante. Pour cette suite, si on éloigne $1/n$ lorsque $n$ augmente, il n'y a pas risque qu'elle soit dominée par $1/n$ ?
Pour me faire pardonner, je propose de compliquer cette idée (dans un deuxième temps, i.e. après l'avoir comprise et précisée) de sorte à pouvoir exhiber une sous-suite $(u_{n_k})_{k\in\N}$ telle que $\lim_{k\to+\infty}n_ku_{n_k}=+\infty$.
OK donc voici le raisonnement. Soit $(u_n)$ tel que $u_{n} =\frac{1}{n^2}$ si $n \neq 2^k$ avec $k \in \mathbb N$ et $u_{2^k}=\frac{1}{k^2}$ avec $k \in \mathbb N$ Déjà $(u_n) $ n'est pas dominée par $\frac{1}{n}$ car $\lim_{+\infty} 2^n u_{2^n}= \lim_{+\infty} 2^n/n^2=+\infty$ Quelle propriété permet d'indiquer que $n u_n $ ne converge pas vers 0 juste parce que pour certaines valeurs de $n$ $n u_n$ ne converge pas vers 0? Merci.
Écris-la, puis compare avec ce que tu viens de prouver.
J'ai interprété ta phrase, car le "pour certaines valeurs de $n$" n'a pas de sens (n n'est qu'une lettre permettant d'écrire la série). Tu voulais dire "la sous suite des $u_{2^k}$ ne converge pas vers 0".
La sous suite $(v_n) $ telle que $v_n=2^n u_{2^n}$ diverge donc la suite $(w_n)$ telle que $w_n=n u_n$ ne peut pas converger. Ainsi $(u_n) $ n'est pas dominée par $1/n$ Montrons que la série $\sum_{k=1}^{n}u_k$ est convergente. $\sum_{k=1}^{n}u_n = \sum_{i=2^k |k \in \mathbb N}^{n}u_i + \sum_{i \neq 2^k | k \in \mathbb N}^{n}u_i =S_n + R_n$ $(S_n) $ converge car elle est majorée par la série $\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k^2}$ qui converge. $(R_n) $ converge car elle est majorée par la série $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ qui converge. On a donc un exemple de série convergente dont le terme général strictement positif n'est pas dominé par $1/n$. Bon ?
Réponses
Prenons $S_n = \sum_{k = n+1}^{2n} u_k$ pour avoir $n$ termes. Que peux-tu dire de $S_n$ en utilisant l'une hypothèse puis la 2e?
On en déduit que $S_{2n}-S_n$ tend vers $0.$
Il vient $0\leq n u_{2n} \leq S_{2n}-S_n.$ Je te laisse exploiter ceci pour finir.
OK, j'ai compris, on montre ainsi que $\frac{u_n} {1/n}$ tend vers $0$
En quoi l'hypothèse "à termes strictement positifs" est nécessaire ?
Et pour la 2 ème question, je suppose qu'il faut avoir une suite croissante pour $u_n$ ?
Dans ce cas, il n'est pas forcément nécessaire de le préciser dans l'énoncé puisqu'on dit que la série converge. On précise juste $u_n$ positive?
L'encadrement ne serait pas possible si $u_n$ nul à partir d'un certain rang ?
Pour cette suite, si on éloigne $1/n$ lorsque $n$ augmente, il n'y a pas risque qu'elle soit dominée par $1/n$ ?
Soit $(u_n)$ tel que $u_{n} =\frac{1}{n^2}$ si $n \neq 2^k$ avec $k \in \mathbb N$ et $u_{2^k}=\frac{1}{k^2}$ avec $k \in \mathbb N$
Déjà $(u_n) $ n'est pas dominée par $\frac{1}{n}$ car $\lim_{+\infty} 2^n u_{2^n}= \lim_{+\infty} 2^n/n^2=+\infty$
Quelle propriété permet d'indiquer que $n u_n $ ne converge pas vers 0 juste parce que pour certaines valeurs de $n$ $n u_n$ ne converge pas vers 0?
Merci.
Ainsi $(u_n) $ n'est pas dominée par $1/n$
Montrons que la série $\sum_{k=1}^{n}u_k$ est convergente.
$\sum_{k=1}^{n}u_n = \sum_{i=2^k |k \in \mathbb N}^{n}u_i + \sum_{i \neq 2^k | k \in \mathbb N}^{n}u_i =S_n + R_n$
$(S_n) $ converge car elle est majorée par la série $\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k^2}$ qui converge.
$(R_n) $ converge car elle est majorée par la série $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ qui converge.
On a donc un exemple de série convergente dont le terme général strictement positif n'est pas dominé par $1/n$.
Bon ?