Sujet CCMP - Maths 1 - 2023
Réponses
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On n' a pas besoin de Goggle, il y a bd, comment tu écris donc ce qui se passe après l'inégalité$|<e^{at}x,e^{at}y>| \leq ?$
Le 😄 Farceur -
Je ne vois pas de problème: $\int_0 ^\infty |< e^{at } x | e^{at } y >| dt \leq \int_0 ^\infty || e^{at } x || . || e^{at } y || dt \leq C^2 ||x|| ||y|| \int_0 ^\infty e^{-2\alpha t} dt $....
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Donc ce qu'on a ecrit $|<e^{at}x,e^{at}y>| \leq ||e^{at}x||.||e^{at}y||$ est juste .Tu me donnes l'impression aussi qu'il y a deux bd dans le mème bd
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Je n'ai jamais dit que c'était faux!
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ah ok là c'est le bd que je connais, je parlais avec ton clone avant qui me disait qu'il n y a pas de t.Je vais démasquer un jour ton autre moitié.Passe une bonne journéeLe 😄 Farceur
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Bonjour Mangeur, Peux-tu démontrer ce lemme ?Soit E un e.v sur $\R$ ou $\C$ muni d'un produit scalaire $<.,.>$ . On prend la norme Euclidienne comme norme sur E. Soit $f,g I\to E$ dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$ et posons $h(t)=<f(t), g(t)>$.1)Démontre que $h$ est continue sur $I$2)Démontre que $h$ est dérivable sur $I$ et calcule $h'(t)$Le 😄 Farceur
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IL a juste dit qu'il n'y a pas de t à Schwarz dans Cauchy-Schwarz.
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Merci Jlapin, je n'avais pas compris cela.
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MangeurAnnales a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2427515/#Comment_2427515B9....[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]@JLapin Salut le lapin.Voilà j'ai besoin de ton avis sur cette question. Il s'agit de justifier d'une formule de l'exponentielle d'un endomorphisme.J'ai proposé 2 solutions. Je voudrais ton avis sur celle qui se passe sur une double somme dont une infinie. Ma question est la suivante : l'argument de continuité des projecteurs et de l'identité $p_i$ et $q_i$ suffisent-elles pour utiliser la somme infinie ? Je voudrais savoir ce que tu aurais fait à cette question pour une écriture impeccable et rigoureuse.Merci.
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Tu as oublié de te connecter avec le pseudo mangeur des annales
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@gebrane Je vais essayer de répondre à ta question.gebrane a dit :Bonjour Mangeur, Peux-tu démontrer ce lemme ?Soit E un e.v sur $\R$ ou $\C$ muni d'un produit scalaire $<.,.>$ . On prend la norme Euclidienne comme norme sur E. Soit $f,g I\to E$ dérivables sur un intervalle $I$ de $\R$ et posons $h(t)=<f(t), g(t)>$.1)Démontre que $h$ est continue sur $I$2)Démontre que $h$ est dérivable sur $I$ et calcule $h'(t)$1) Bonsoit $a \in I$. $h$ est continue en $a$ ssi $\forall \epsilon > 0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall t \in I$, $|t-a|<\alpha$, $|h(t)-h(a)| < \epsilon$Fixons $\epsilon > 0$, $|h(t)-h(a)|=|<f(t), g(t)>-<f(a), g(a)>|=|<f(t), g(t)>-<f(t), g(a)>+<f(t), g(a)>-<f(a), g(a)>|=|<f(t), g(t)-g(a)>+<f(t)-f(a),g(a)>|$Maintenant je vais écrire la continuité de $f$ et $g$ en $a$.$\forall \epsilon > 0$, $\exists \alpha_1 > 0$, $\forall t \in I$, $|t-a|<\alpha_1$, $|f(t)-f(a)| < \epsilon$$\forall \epsilon > 0$, $\exists \alpha_2 > 0$, $\forall t \in I$, $|t-a|<\alpha_2$, $|g(t)-g(a)| < \epsilon$Soit $\beta=max(\alpha_1,\alpha_2)$ ; $\forall \epsilon > 0$, $\forall t \in I$, $|t-a|<\beta$, $|h(t)-h(a)| \leq |<f(t), g(t)-g(a)>|+|<f(t)-f(a),g(a)>| \leq |<f(t), |g(t)-g(a)|>|+|<|f(t)-f(a)|,g(a)>| \leq \epsilon.||f(t)||+\epsilon.||g(t)|| \leq \epsilon.(||f||_{\infty}+||g||_{\infty})$Donc $h$ est continue sur $I$.Moi j'ai un bon copain qui est @LOU16 mon copain LOU veux-tu intervenir ici ?Le mangeur d'annales se contente de répondre aux questions des annales ...Je suis sûr que tu proposerais un truc plus élégant. -
Pour parodier quelqu'un, je trouve que la question du @violoncelliste "c'est du chinois." Maintenant la question s'adressant à monsieur le lapin , nous aurons peut être une explication plus claire.
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Avec Jlapin , les affaires vont marcher à merveilles.Pourquoi tu n'avais pas précisé bd2017 que le $t$ que tu avais ciblé dans ton message concerne le nom de Cauchy SchwarzLe 😄 Farceur
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Comment pouvais-je imaginer qu'une personne aussi intelligente que toi n'ait pas compris mon message. Relis-le, il était bien explicite.
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Il y avait un $t$ dans la formule, d'où ma confusion.Le 😄 Farceur
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Je te pose un défi: répondre à la question du @violoniste.
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La question est nominative, je refuse le défi
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Le problème est que tu es certain que je suis mangeur des annales et que je suis certain que bd2017 = le violoniste. Donc bd2017 le rusé a posé cette question au nom de son cousin le violoniste cette question pour comprendre. Note salut et seul espoir est Jlapin
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gebrane a dit :Tu as oublié de te connecter avec le pseudo mangeur des annalesOui tu as raison : tu m'as démasqué ... Je suis le jumeau du violoniste, et en plus tu sais maintenant que je joue du violoncelle.Bien, que fait le frangin sur la question de ma moitié ?
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Non je ne suis pas le violoniste. D'ailleurs je ne sais pas poser des questions aussi sophistiquées.
Le sujet n'avance plus. Tu fais un détournement de l'attention parce que tu bloques ? -
2) Allez je veux bien essayer la question sur la dérivationJe veux évaluer : pour t dans $I$ et u dans $I$ avec $t+u$ dans $I$ ; $(h(t+u)-h(t))/u = (<f(t+u),g(t+u)>-<f(t),g(t))>)/u \leq ||f(t+u)-f(t)||.||g(t+u)-g(t))||/u$Or avec un DL adéquat : $h(t+u)-h(t)=uf'(t) + o_0(u)$ alors $(h(t+u)-h(t))/u \leq u.||f'(t)||.u.||g'(t)|| /u \leq u.||f'||_{\infty}||g'||_{\infty}$D'où la dérivablité.@MangeurAnnales : Voilà , finit-nous ce sujet MP ennuyeux. Merci à toi !Je vais me faire tirer dessus par @Alexique mais ce n'est pas grave, il a l'habitude de réagir.
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CA devient compliqué cette histoire de famille. On attend la réponse de Jlapin
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Tous ces pavés ne m'intéressent pas du tout.
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Le violoniste il y a f et g , dans ma question
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J'ai corrigé j'étais en train de relire comme d'habitude je me mélange un peu. Tu me connais je suis un peu brouillon.
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Le violoniste . Je ne comprends pas. En plus f' et g' ne sont pas supposées bornées pour prendre les normes infinies
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Pour le 1) ou le 2) ? Déjà tu acceptes 1) ? Je comprends tu dis que j'ai faux au 2). Est-ce bien cela ? Ou tout est faux ?Tu sais il ne faut pas me brusquer.
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quand tu termines la 1 et la 2 tu me fais signe
Le 😄 Farceur -
C16.Je reviens à ma question sur le calcul de l'intégrale $b(x,a(x))$. Dans la question $x \in \mathbb{R}^n$Le problème est la justification de la dérivation du produit scalaire. $(<f,g>)'=<f',g>+<f,g'>$Je veux justifier cela de manière impeccable.Alors je pose $F$ et $G$ de fonctions vectorielles $I \mapsto \mathbb{R}^p$, $\forall x \in I$, $<f(x),g(x)>=F(x).G(x)$ je passe en fait aux coordonnées.J'ai : $<f(x),g(x)>=f_1(x).g_1(x)+\cdots+f_p(x).g_p(x)$ et je dérive : $(<f(x),g(x)>)'=f_1'(x).g_1(x)+f_1(x).g_1'(x)+\cdots+f_p(x).g_p(x)+f_p'(x).g_p'(x)=F'(x).G(x)+F(x).G'(x)=<f'(x),g(x)>+<f(x),g'(x)>$Et là je reviens à notre question : $(<e^{ta}(x),e^{ta}(x)>)'=2<e^{ta}(x),(e^{ta}(x))'>=2<e^{ta}(x),(e^{ta}(x)) \circ a(x)>$$b(x,a(x))=\int_0^{+\infty} <e^{ta}(x),e^{ta}(a(x))> dt = \frac{1}{2}.[<e^{ta}(x),e^{ta}(x)>]_0^{+\infty}$Ici avec C15. on a la convergence de l'intégrale du produit scalaire qui impose : $lim_{t \mapsto +\infty} <e^{ta}(x),e^{ta}(x)> = lim_{t \mapsto +\infty} ||e^{ta}(x)||^2 = 0$. Il reste $2b(x,a(x))=-<e^{0}(x),e^{0}(x)>=-||x||^2=dq(x)\circ a(x)$.On a montré $\boxed{dq(x)\circ a(x)=-||x||^2}$
Ça me plaît !
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Mon cousin, tu dois traiter l'exercice en toute sa généralité, tu ne peux pas passé en coordonnées, tes fonctions sont à valeurs dans un espace E préhilbertien
Le 😄 Farceur -
C17.Ça chauffe : une fonction utilitaire qui sert à quoi ?$\epsilon(y)(t)=\phi(y(t))-a(y(t))$
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@gebrane Ha je vois j'ai pris le produit scalaire canonique, et ici le produit scalaire est tout autre.Ecoute je vais me coucher car comme d'hab, après minuit c'est sottises et compagnie ...$(<e^{ta}(x),e^{ta}(x)>)'=(||e^{ta}(x)||^2)'$ en dérivant par composition une fonction normée mise au carré ... me semble une idée.
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C'est un cas particulier, je voulais que tu comprennes le cadre général (le but de mon exercice)
Le 😄 Farceur -
Pour mon exercice point 2 et pour ne pas tourner en rond, tu as deux facons ( bd2017 peut ajouter une troisieme)Méyhode 1 Tu calcules directement $\lim_{\tau \to 0} \frac {h(t+\tau)-h(t)}{\tau}$ en utilisant uniquement le point 1 de l'exercice.Méthode 2 Ecris $h$ sous forme d'une composée: $h(t)=\phi \circ \psi (t)$Avec $$\psi : \, I\to E\times E,\quad \psi(t)=(f(t),g(t))$$ et $$\phi: \, E\times E\to \R,\quad \phi(x,y)=<x,y>$$Le 😄 Farceur
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A ce point mon exercice est difficile ? Je reconnais la méthode 1 est très astucieuse (ne se trouve dans aucun livre ou forum)Allons passons à la question 17 (très faisable). Il ne faut faire attendre bd2017 sinon il va quitter le fil.Le 😄 Farceur
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Q17De manière formelle : $\forall x \in \mathbb{R}^n$, $q(x)=b(x,x)$.Si on dit que $f_{x_0}$ est une fonction de $t$, je peux écrire $q(f_{x_0}(t))=b(f_{x_0}(t),f_{x_0}(t))$ mais ce n'est pas $q(f_{x_0})(t)$. Pour moi c'est différent. Donc là ça commence mal.Une autre possibilité est la composition : $ q \circ f_{x_0} (x) = b(f_{x_0}(x),f_{x_0}(x))$. c'est pareil que ce que j'ai écritJe vais poser$\theta : \begin{cases} \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n \\ x \mapsto q \circ f_{x_0}(x) \end{cases}$Je vais dériver cette fonction sans me soucier de l'énoncé qui me semble incorrect
$\forall x \in \mathbb{R}^n$, $\theta(x)=q \circ f_{x_0}(x)$, $d\theta(x)=d(q \circ f_{x_0})(x)=dq(f_{x_0}(x)) \circ df_{x_0}(x)$Avec la mal écrite question Q16 de l'énoncé, qui aurait du être : $dq(x)\circ a(x)=2b(x,a(x))$ Ici que j'applique à $f_{x_0}(x)$,je trouve $d\theta(x)=d(q \circ f_{x_0})(x)=2b(f_{x_0}(x),df_{x_0}(x))$Un truc me turlupine $dq(x)=q'(x)$ pour l'énoncé ? avec $x$ comme vecteur bien entendu.Maintenant comme $f_{x_0}$ vérifie l'équation différentielle $y'=\phi(y)$ et j'utilise $\phi(y(t))=\epsilon(y)(t)+a(y(t))$alors $d\theta(x)=2b(f_{x_0}(x),\phi(f_{x_0}(x))=2b(f_{x_0}(x),\epsilon(f_{x_0})(x)+df_{x_0} \circ f_{x_0}(x)))$$d\theta(x)=2b(f_{x_0}(x),\phi(f_{x_0}(x))=2b(f_{x_0}(x),\epsilon(f_{x_0})(x))+2b(f_{x_0}(x),df_{x_0} \circ f_{x_0}(x))=2b(f_{x_0}(x),\epsilon(f_{x_0})(x))-||f_{x_0}(x)||^2$Réecrit avec les variables de l'énoncé : $\forall t \in \mathbb{R}^+, (q \circ f_{x_0})' (t) =-||f_{x_0}(t)||^2+2b(f_{x_0}(t),\epsilon(f_{x_0})(t))$En conclusion les notations de l'énoncé c'est vraiment de la m..... et d'ailleurs je pense que leur écriture $\epsilon((f_{x_0}(t))$ est forcément fausse, bref quelle honte ! L'écriture $a=d\phi(0)$ est fausse aussi ...@gebrane Quant à toi mon ami, quand tu dis que la question est facile, qu'il faut détecter les erreurs d'énoncé, attention que je ne te croises pas de si tôt car j'ai galéré 30min sur cette question.
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C18.
Cauchy-Schwarz et/ou l'équivalence de norme en dimension finie ? On verra demain.
Je vais chercher ton exo sur feuille @gebrane et je te réponds demain. À bientôt l'ami. -
Aie, oui je me suis permis de dire que les fonctions sont $C^1$, bon je cherche sur feuille !gebrane a dit :Le violoniste . Je ne comprends pas. En plus f' et g' ne sont pas supposées bornées pour prendre les normes infinies
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Bonjour
Mon esprit a comblé le manque des parenthèses. Tu fais mieux que mon cousin mangeur des annales.Je n'ai plus le temps pour suivre ce fil. Bonne continuation.Le 😄 Farceur -
Bonjour @gebrane je suis un peu déçu du manque d'intérêt pour des sujets de concours. Pour moi c'est stimulant mais bon à part OShine qui fait des sujets il n'y a pas grand monde finalement.
Quel est le but des forumeurs en général ?
Est-ce que ce type de sujet est trop facile ?
Je suis dans le brouillard.
Je vais bientôt arriver au bout du sujet. -
Le violoniste, on a à côté notre boulot.Si je viens ici très souvent, c'est pour maintenir mon niveau en mathématiques, car je ne le pratique plus quotidiennement dans mon travailLe 😄 Farceur
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Je suis dans le même cas j'ai un boulot et je viens de temps en temps. Et je veux maintenir mon niveau aussi.
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C'est souvent très long, parfois très mal posé et le coût d'entrée pour répondre ou aider quelque à répondre à la question 26 qui est peut-être une question intéressante est à mon avis trop important.LeVioloniste a dit :Bonjour @gebrane je suis un peu déçu du manque d'intérêt pour des sujets de concours.Quant à relire des pages et des pages de réponses sur des questions essentiellement triviales, ça s'appelle une correction de copie et c'est objectivement très chiant. -
@JLapin La plupart de ce bas monde n'a pas ton niveau en maths ... Tu dois être un normalien. Les épreuves ont été considérées difficiles par les taupins.Tout est loin d'être trivial.Et puis je voulais que d'autres personnes cherchent en même temps mais la plupart des gens s'en fichent. Qu'est-ce qui plaît au gens ? Un peu les épreuves d'agrégation. Et encore ...
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@gebrane test $T$ les dollars déconnentMéthode 1.
Soit $t \in I $ , $t+\tau \in I$ alors $\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau)-f(t),g(t+\tau)-g(t)>}{\tau}$.
Puis j'utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
$| \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} | \leq \frac{||f(t+\tau)-f(t)||.||g(t+\tau)-g(t)||}{\tau}$
Ensuite la dérivabilité d'une fonction $f$ en $x_0$ s'écrit : $\exists \epsilon$ une fonction telle que $\epsilon(h) \mapsto 0$ qd $h \mapsto 0$ et $f(x_0+h)=f(x_0)+h.f'(x_0)+h.\epsilon(h)$
Et donc je choisis 2 applications $\exists \epsilon_f$ et $\exists \epsilon_g$. $\forall t \in I$,
$f(t+\tau)-f(t)=\tau.f'(t)+\tau.\epsilon_f(\tau)$ idem pour $g$, $g(t+\tau)-g(t)=\tau.g'(t)+\tau.\epsilon_g(\tau)$
$| \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} | \leq \frac{||\tau.f'(t)+\tau.\epsilon_f(\tau)||.||\tau.g'(t)+\tau.\epsilon_g(\tau)||}{\tau} \leq \tau.sup|f'|_I+\tau.sup|g'|_I+o_0(\tau)$Ce n'est pas ce qu'on veut : c'est faux car la dérivée en $t$ est toujours nulle.
Il faut faire apparaître le produit scalaire de fonctions dérivées.Est-ce que c'est plutôt cela que tu veux mon cousin ?
$\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t+\tau),g(t)>+<f(t+\tau),g(t)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)-g(t)>+<f(t+\tau)-f(t),g(t)>}{\tau}=<f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>$
Puis je passe à la limite par continuité du produit scalaire : $\tau \mapsto 0$ : $\lim_{\tau \mapsto 0} \frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau} = \lim_{\tau \mapsto 0} <f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>\, =\, <f(t),g'(t)>+<f'(t),g(t)>$. -
Bravo.LeVioloniste a dit :$\frac{h(t+\tau)-h(t)}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)>-<f(t+\tau),g(t)>+<f(t+\tau),g(t)>-<f(t),g(t)>}{\tau}=\frac{<f(t+\tau),g(t+\tau)-g(t)>+<f(t+\tau)-f(t),g(t)>}{\tau}=<f(t+\tau),\frac{g(t+\tau)-g(t)}{\tau}>+<\frac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau},g(t)>$
Le 😄 Farceur -
Méthode 2.
$h(t)=\phi \circ \psi (t)$
$\psi : \, I\to E\times E,\quad \psi(t)=(f(t),g(t))$
$\phi: \, E\times E \to R,\quad \phi(x,y)=\,<x,y>$
La formule de la différentielle en $t$ donne $\forall t \in I$
$Dh(t)=D\phi \circ \psi (t)=D\phi(\psi (t)) \circ D\psi (t)$
Or pour $h,k \in E$, $\phi(x+h,y+k)=<x+h,y+k>=<x,y>+<x,k>+<h,y>+<h,k>$ alors $D\phi(h,k)=<x,k>+<h,y>$ car $<h,k>=o_{(0,0)}(h,k)$
$D\phi(t)=\phi'(t)=(f('t),g'(t))$. Alors $Dh(t)=D\phi(\psi (t)) \circ D\psi (t)=D\phi(f(t),g(t)) \circ \phi'(t)=(<x,g(t)>+<f(t),y>) \circ (f('t),g'(t)) = <f'(t),g(t)>+<f(t),g'(t)>$.@gebrane Tu me fais réviser le calcul diff cousin ?
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