Exercice de statistique/information chiffrée
Bonjour Messieurs dames, j'aimerais recueillir vos avis/suggestions sur les possibles méthodes de résolution d'un exercice de seconde portant sur les pourcentages/stats/information chiffrée, sur lequel je suis tombé par hasard. Cet exercice est dit être tiré des Olympiades de mathématiques de l'académie d'Aix-Marseille 2009, mais en vérité je dirais plutôt qu'il s'agit d'une adaptation de cet exercice ci, tiré des Olympiades de l'académie de Poitiers, 2008 : https://numerisation.univ-irem.fr/AAP/AAP09001/AAP09001.pdf et dont la solution est jointe.
Voici l'énoncé de cet exercice.
"Un commerçant effectue trois remises successives sur un article au prix initial de 500 € et le vend finalement 219,45 €. Déterminer les pourcentages des trois remises appliquées, sachant qu’il s’agit de trois valeurs entières consécutives."
En fait j'aimerais savoir quelle solution est la mieux adaptée pour un élève de seconde, où s'il existe une solution "propre", déterministe, enfin disons sans tâtonnements, de cet exercice.
On peut évidemment modéliser le problème par l'équation suivante.
\begin{align}
p_f =& p_i \left(1- \dfrac{t_1}{100}\right)\left(1- \dfrac{t_2}{100}\right)\left(1- \dfrac{t_3}{100}\right) \\
=& p_i \left(1- \dfrac{n}{100}\right)\left(1- \dfrac{n+1}{100}\right)\left(1- \dfrac{n+2}{100}\right)
\end{align} $p_f$ et $p_i$ représentant respectivement le prix initial (500€) et le prix final (219.45€) et $t_1$, $t_2$ et $t_3$ les différentes remises.
Méthode 1 : en posant $x = n/100$, l'équation se réécrit :
$$ \left(\dfrac{p_f}{p_i} \right) = (1 - x)(0,99 - x)(0.98-x).
$$Notons qu'on a $x > 0$ car $\dfrac{p_f}{p_i} \ne 1 \times 0,99 \times 0,98$.
On peut évidemment développer "brutalement" le membre de droite, en se rappelant que $(a-x)(b-x)(c-x) = -x^3 +x^2(3+a+b+c) - x(ab +bc +ca) +abc$. On obtient une équation du 3ème degré, que l'on sait résoudre, mais inaccessible à un élève de seconde...
Alors, essayons de travailler un peu cette équation.
En posant $a = 1$, $b=0,99$, $c=0,98$, celle-ci devient :
\begin{align}
abc - \left(\dfrac{p_f}{p_i} \right) &= x^3 - x^2(a+b+c) + x(ab +bc +ca)) \\
&= x(x^2 - x(a+b+c) + (ab +bc +ca)).
\end{align} On essaye de transformer le second membre en un produit de facteurs, en factorisant le polynôme de degré 2.
\begin{align}
(x^2 - x(a+b+c) + (ab +bc +ca)) &= (x)^2 - 2 \times x \times \dfrac{a+b+c}{2} + \Big( \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 - \Big( \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 + (ab+bc+ac) \\
&= \Big(x- \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 - \left(\Big( \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 - (ab+bc+ac)\right).
\end{align} Malheureusement, on a que $\left( \dfrac{a+b+c}{2}\right)^2 - (ab+bc+ac) = \dfrac{a^2 + b^2 +c^2 - 2(ab +bc + ac)}{4} \approx -0.735 < 0$.
On ne peut donc factoriser et analyser terme par terme l'expression pour obtenir des conditions sur $x$, cette méthode ne donne rien.
Méthode 2 : en remarquant que $n \approx n+1 \approx n+2 $ il suit que :
$$ 1-\dfrac{t_3}{100} \approx 1-\dfrac{t_2}{100} \approx 1-\dfrac{t_1}{100} = 1-\dfrac{n}{100} \approx \sqrt[3]{\dfrac{p_f}{p_i}} \approx 0,76
$$ On en déduit que $\frac{n}{100} \approx 0,24$ soit $n \approx 24$ et on trouve alors aisément le triplet $23$, $24$, $25$ comme solution, en vérifiant évidemment que $219,45 = 500\left(1- \dfrac{23}{100}\right)\left(1- \dfrac{24}{100}\right)\left(1- \dfrac{25}{100}\right)$
Méthode 3 : en s'inspirant de la méthode utilisée pour résoudre l'exercice des Olympiades de Poitiers 2008.
Soient $a$, $b$ et $c$ les 3 pourcentages. On a :
$$219,45 \times (100)^3 = 500 \left( 100-a\right) \left( 100-b\right) \left( 100-c\right)
$$ c'est-à-dire :
$$
\left( 100-a\right) \left( 100-b\right) \left( 100-c\right) = 438 \, 900 = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 19 .
$$ Mais là encore faut-il que l'élève soit au fait de la décomposition des nombres entiers en facteurs premiers ...
Puisque $100-a$, $100-b$ et $100-c$ sont tous trois inférieurs à $100$ et que $438 \, 900 = 43,89 \times 100 \times 100$, ils sont tous trois supérieurs à $43,89$ c'est à dire $-$ puisqu'entiers $-$ supérieurs à $44$. Alors, puisque $19 \times 11 > 100$ et $19 \times 7 > 100$ on peut écrire :
\begin{align}
100-a =& 19 \times 2^p \times 3^q \times 5^r\\
100-b =& 11 \times 2^{p'} \times 3^{q'} \times 5^{r'} \times 7^{s'}\\
100-c =& 2^{p''} \times 3^{q''} \times 5^{r''} \times 7^{s''} ,
\end{align} avec $p+p'+p'' = 2$, $q+q'+q'' = 1$, $r+r'+r'' = 2$ et $s'+s'' = 1$.
On a alors :
\begin{align}
\dfrac{44}{19} \approx 2,32 \le \dfrac{100-a}{19} = 2^p \times 3^q \times 5^r \le \dfrac{100}{19} \approx 5,26 \\
\dfrac{44}{11} = 4 \le \dfrac{100-b}{11} = 2^{p'} \times 3^{q'} \times 5^{r'} \times 7^{s'} \le \dfrac{100}{11} \approx 9,09.
\end{align} S'ensuit une phase de recherche/tâtonnements.
En posant par exemple $s' = 1$ on a $s'' = 0$. Or, si $p' \ne 0 $, $q' \ne 0$ ou $r' \ne 0$ on a $11 \times 7 \times 2^{p'} \times 3^{q'} \times 5^{r'} > 100$, on a donc nécessairement $p' = 0 $, $q' = 0$ et $r' = 0$ donc $100-b = 77$.
Posons maintenant en vertu de ce qui précède, $\dfrac{100-a}{19} = 4$ c'est à dire $p=2$. Alors immédiatement $p'' = 0$. Mais, comme $19\times 4 = 76$ il suit que, si $q \ne 0$ ou $r \ne 0$ on a $19\times 4 \times 3^q \times 5^r > 100$ donc on a nécessairement $q = 0$ et $r=0$. Ce qui signifie que $100-a = 19 \times 4 = 76$ et on en déduit finalement que :
$$
p'' = 0, q'' = 1, r'' = 2$$ c'est-à-dire $100-c = 3 \times 5^2 = 75$.
Il suit naturellement que $a = 24$, $b=23$, $c=25$ qui est la bonne solution car $a$, $b$ et $c$ sont consécutifs.
Alors, qu'en pensez-vous, quelle solution vous semble-t-elle la plus adaptée pour un élève de seconde ? Existe-t-il une solution encore plus directe ou élégante ?
Voici l'énoncé de cet exercice.
"Un commerçant effectue trois remises successives sur un article au prix initial de 500 € et le vend finalement 219,45 €. Déterminer les pourcentages des trois remises appliquées, sachant qu’il s’agit de trois valeurs entières consécutives."
En fait j'aimerais savoir quelle solution est la mieux adaptée pour un élève de seconde, où s'il existe une solution "propre", déterministe, enfin disons sans tâtonnements, de cet exercice.
On peut évidemment modéliser le problème par l'équation suivante.
\begin{align}
p_f =& p_i \left(1- \dfrac{t_1}{100}\right)\left(1- \dfrac{t_2}{100}\right)\left(1- \dfrac{t_3}{100}\right) \\
=& p_i \left(1- \dfrac{n}{100}\right)\left(1- \dfrac{n+1}{100}\right)\left(1- \dfrac{n+2}{100}\right)
\end{align} $p_f$ et $p_i$ représentant respectivement le prix initial (500€) et le prix final (219.45€) et $t_1$, $t_2$ et $t_3$ les différentes remises.
Méthode 1 : en posant $x = n/100$, l'équation se réécrit :
$$ \left(\dfrac{p_f}{p_i} \right) = (1 - x)(0,99 - x)(0.98-x).
$$Notons qu'on a $x > 0$ car $\dfrac{p_f}{p_i} \ne 1 \times 0,99 \times 0,98$.
On peut évidemment développer "brutalement" le membre de droite, en se rappelant que $(a-x)(b-x)(c-x) = -x^3 +x^2(3+a+b+c) - x(ab +bc +ca) +abc$. On obtient une équation du 3ème degré, que l'on sait résoudre, mais inaccessible à un élève de seconde...
Alors, essayons de travailler un peu cette équation.
En posant $a = 1$, $b=0,99$, $c=0,98$, celle-ci devient :
\begin{align}
abc - \left(\dfrac{p_f}{p_i} \right) &= x^3 - x^2(a+b+c) + x(ab +bc +ca)) \\
&= x(x^2 - x(a+b+c) + (ab +bc +ca)).
\end{align} On essaye de transformer le second membre en un produit de facteurs, en factorisant le polynôme de degré 2.
\begin{align}
(x^2 - x(a+b+c) + (ab +bc +ca)) &= (x)^2 - 2 \times x \times \dfrac{a+b+c}{2} + \Big( \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 - \Big( \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 + (ab+bc+ac) \\
&= \Big(x- \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 - \left(\Big( \dfrac{a+b+c}{2}\Big)^2 - (ab+bc+ac)\right).
\end{align} Malheureusement, on a que $\left( \dfrac{a+b+c}{2}\right)^2 - (ab+bc+ac) = \dfrac{a^2 + b^2 +c^2 - 2(ab +bc + ac)}{4} \approx -0.735 < 0$.
On ne peut donc factoriser et analyser terme par terme l'expression pour obtenir des conditions sur $x$, cette méthode ne donne rien.
Méthode 2 : en remarquant que $n \approx n+1 \approx n+2 $ il suit que :
$$ 1-\dfrac{t_3}{100} \approx 1-\dfrac{t_2}{100} \approx 1-\dfrac{t_1}{100} = 1-\dfrac{n}{100} \approx \sqrt[3]{\dfrac{p_f}{p_i}} \approx 0,76
$$ On en déduit que $\frac{n}{100} \approx 0,24$ soit $n \approx 24$ et on trouve alors aisément le triplet $23$, $24$, $25$ comme solution, en vérifiant évidemment que $219,45 = 500\left(1- \dfrac{23}{100}\right)\left(1- \dfrac{24}{100}\right)\left(1- \dfrac{25}{100}\right)$
Méthode 3 : en s'inspirant de la méthode utilisée pour résoudre l'exercice des Olympiades de Poitiers 2008.
Soient $a$, $b$ et $c$ les 3 pourcentages. On a :
$$219,45 \times (100)^3 = 500 \left( 100-a\right) \left( 100-b\right) \left( 100-c\right)
$$ c'est-à-dire :
$$
\left( 100-a\right) \left( 100-b\right) \left( 100-c\right) = 438 \, 900 = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 19 .
$$ Mais là encore faut-il que l'élève soit au fait de la décomposition des nombres entiers en facteurs premiers ...
Puisque $100-a$, $100-b$ et $100-c$ sont tous trois inférieurs à $100$ et que $438 \, 900 = 43,89 \times 100 \times 100$, ils sont tous trois supérieurs à $43,89$ c'est à dire $-$ puisqu'entiers $-$ supérieurs à $44$. Alors, puisque $19 \times 11 > 100$ et $19 \times 7 > 100$ on peut écrire :
\begin{align}
100-a =& 19 \times 2^p \times 3^q \times 5^r\\
100-b =& 11 \times 2^{p'} \times 3^{q'} \times 5^{r'} \times 7^{s'}\\
100-c =& 2^{p''} \times 3^{q''} \times 5^{r''} \times 7^{s''} ,
\end{align} avec $p+p'+p'' = 2$, $q+q'+q'' = 1$, $r+r'+r'' = 2$ et $s'+s'' = 1$.
On a alors :
\begin{align}
\dfrac{44}{19} \approx 2,32 \le \dfrac{100-a}{19} = 2^p \times 3^q \times 5^r \le \dfrac{100}{19} \approx 5,26 \\
\dfrac{44}{11} = 4 \le \dfrac{100-b}{11} = 2^{p'} \times 3^{q'} \times 5^{r'} \times 7^{s'} \le \dfrac{100}{11} \approx 9,09.
\end{align} S'ensuit une phase de recherche/tâtonnements.
En posant par exemple $s' = 1$ on a $s'' = 0$. Or, si $p' \ne 0 $, $q' \ne 0$ ou $r' \ne 0$ on a $11 \times 7 \times 2^{p'} \times 3^{q'} \times 5^{r'} > 100$, on a donc nécessairement $p' = 0 $, $q' = 0$ et $r' = 0$ donc $100-b = 77$.
Posons maintenant en vertu de ce qui précède, $\dfrac{100-a}{19} = 4$ c'est à dire $p=2$. Alors immédiatement $p'' = 0$. Mais, comme $19\times 4 = 76$ il suit que, si $q \ne 0$ ou $r \ne 0$ on a $19\times 4 \times 3^q \times 5^r > 100$ donc on a nécessairement $q = 0$ et $r=0$. Ce qui signifie que $100-a = 19 \times 4 = 76$ et on en déduit finalement que :
$$
p'' = 0, q'' = 1, r'' = 2$$ c'est-à-dire $100-c = 3 \times 5^2 = 75$.
Il suit naturellement que $a = 24$, $b=23$, $c=25$ qui est la bonne solution car $a$, $b$ et $c$ sont consécutifs.
Alors, qu'en pensez-vous, quelle solution vous semble-t-elle la plus adaptée pour un élève de seconde ? Existe-t-il une solution encore plus directe ou élégante ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
très instructif; je dirais que la méthode 2 est plus adaptée en seconde.
J'ai quand même une remarque:
Je dirais que n/100 et (n+1)/100 et (n+2)/100 sont à peu près identiques à la place de l'approximation de n, n+1 et n+2.
Ne change pas les résultats.
En recalculant je trouve n=24 donc n+1=25 et n+2=26 et en remplaçant je ne tombe pas sur 219,45 (à cause des approximations ?)
Donc en prenant n-1 et n et n+1 ça marche très bien.
Le n-1 équilibrant les approximations faites ?
Mon fils est en seconde.
Je pense qu'il essaierait la méthode brute (méthode 1) pour se rendre compte que ça ne donne rien; donc perte de temps précieux.
Si c'est un devoir maison, il pourrait essayer la méthode 2 mais par contre si c'est un devoir en classe, il passerait sûrement à l'exercice d'après car il a déjà perdu du temps.
La méthode 3 est superbe mais trop compliquée je pense.
Cordialement.
En développant $\left(1- \dfrac{n-1}{100}\right)\left(1- \dfrac{n}{100}\right)\left(1- \dfrac{n+1}{100}\right)-\dfrac{21945}{50000}=0$, on obtient $-50000(n^3 - 300n^2 + 29999n - 561000)=0$ qui possède $24$ comme racine évidente.
Rescassol
Il suffit donc de "deviner" la solution, on se dit qu'au pire par dichotomie ça peut aller très vite, mais en fait il est très facile d'estimer la valeur des 3 nombres (exactement comme proposé dans la méthode 2) et donc de trouver du premier coup.
C'est le même principe que quand on leur demande de trouver 3 nombres consécutifs dont la somme vaut 462: ils ne vont pas résoudre d'équation, ils vont deviner tout de suite l'ordre de grandeur et et trouver la solution (en 4eme, sans justifier alors correctement qu'elle est unique, au lycée les arguments de croissance devraient être plus spontanés).
Quand on a une racine, évidente ou non, d'une équation de degré 3, on sait la résoudre.
Cordialement,
Rescassol
Quand on a une calculatrice ordinaire, on n'a pas besoin d'être un calculateur prodige.
Ensuite, on met $n-24$ en facteur et vogue la galère ............
Cordialement,
Rescassol
Une autre méthode de résolution:
remplacer t1, t2 et t3 par tm (le taux moyen) et on trouve tm=24,004 avec la racine cubique.
Donc on choisit 24 puis 23 et 25.
> Pour moi, une racine évidente c'est 0, 1, -1, 2, -2 à la limite 3 et -3 mais pas 24.
De tête, d'accord. Par contre, avec une calculatrice, on peut aller plus loin, surtout que le polynôme étant $n^3 - 300n^2 + 29999n - 561000$, je cherche parmi les diviseurs de $561000$.
Cordialement,
Rescassol
Comme les 3 entiers sont consécutifs, il n'y a qu'un seul multiple de 5.
Les deux 5 sont donc dans le même facteur et un des 3 facteurs vaut 25 , 50 ou 75.
L'ordre de grandeur nous dit que la seul candidat possible est 75 (car (1/4)^3 =1/64 et (1/2)^3=1/8 sont beaucoup trop petits).
Il ne reste déjà plus plus que 3 possibilités: 73,74,75 ou 74,75,76 ou 75,76,77.
Le produit étant multiple de 11, c'est obligatoirement 75,76,77.
Les 3 entiers sont donc 23,24,25.
Le 7×11 me saute aux yeux maintenant (je ne sais pas si je l'aurais vu sans la solution)
(100−a)(100−b)(100−c) = 438 900 = 2×2×3×5×5×7×11×19 = (7×11)×(3×5×5)×(2×2×19) = 77×75×76
Et oui la racine cubique ou puissance 1 tiers c'est exagéré pour la seconde