Démonstration décomposition en cycles à supports disjoints

Merci ! Parfois je comprends des choses après coup, je stresse devant la démo quand je vois que c'est une démonstration technique et difficile.

1) Si le support contient deux éléments, c'est une transposition.
2) $\langle \sigma \rangle$ est le sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ engendré par $\sigma$. D'après le théorème de Lagrange, son cardinal divise $n!$ donc il est fini.
3) On a $\sigma=c_x$ et $c_x$ est un cycle donc c'est terminé.
4) On a $Card (Supp \sigma ) \geq 3$. Comme $x \in Supp \sigma$ alors $\sigma (x) \ne x$ et $\sigma(x) \in Supp(\sigma)$ donc $c_x(x)= \sigma(x) \ne x$ donc $Supp \  c_x$ est non vide.
 Si $Supp \  \rho = Supp \ \sigma \backslash Supp \  c_x$ est non vide, il existe au moins un élément dedans.
De plus, $\# Supp \  \rho  \geq 1$.
Or $\# Supp \  \rho =\# Supp  \ \sigma - \# Supp \  c_x$ ce qui donne  $\boxed{\# Supp \  \rho \leq k-1}$

Je trouve la preuve de l'unicité incompréhensible et très mal expliquée. 

@NicoLeProf
Je n'ai aucun théorème qui dit qu'un cycle $c$ de longueur $s$ peut s'écrire sous la forme $(x \ c(x) \ c^2(x) \ \cdots c^{s-1} (x) )$.
Je ne sais pas d'où ça sort.
Je n'ai pas compris ton indication. 

Merci.
1) $Supp (1 \ 2 \ 3)  = \{1,2,3 \}$.
2) $Supp (1 \ 3 \ 4 \ 2 \ 5)= \{1,2,3,4,5)$ donc $Supp (1 \ 2 \ 3)  \subset Supp (1 \ 3 \ 4 \ 2 \ 5)$.
3) Si $i_1, \cdots, i_k$ sont $k$ éléments deux à deux distincts de $\{1, \cdots, n \}$, la permutation définie comme suit est notée $s=(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_k)$ :  

• si $1 \leq j \leq k-1$ alors $s(i_j)=i_{j+1}$
• $s(i_k)=i_1$
• et $s(i)=i$ si $i$ n'est pas l'un des $i_j$.

Une telle permutation est appelée un $k$-cycle.

@NicoLeProf
a) $Supp \ s= \{i_1, \cdots, i_k \}$.
b) $i_2=s(i_1)$, $i_3=s^2(i_1)$ .
c) $i_j=s^{j-1} (i_1)$.
d) $s=(i_1 \ s(i_1) \ s^2(i_1) \ \cdots \ s^{k-1}(i_1) )$

Soient $c,d$ deux cycles de $\mathfrak{S}_n$ tels que $Supp  \ c \subset Supp \ d$.
Soit $x \in Supp \ c$.
$c=(x \ c(x) \ \cdots \ c^{s-1}(x))$. 
Montrons $c=d$.
On a $d=(x \ d(x) \ \cdots \ d^{t-1}(x))$. 
On effectue la division euclidienne de $d$ par $c$ ce qui donne $t=sq+r$ avec $0 \leq r \leq s-1$.
Par l'absurde si $r >0$, alors...
Je bloque ici. 

@bd2017
Moi non plus.
Je n'ai juste rien compris à la preuve d'unicité du livre.

Je ne sais pas quoi faire je ne comprends rien à la preuve.
Je ne comprends pas : 

• $c_s=d_t$
• $s=t$
• chaque $c_i$ est l'un seulement des $d_j$.

Je ne vois pas de récurrence, jamais traité des récurrences aussi bizarres.

@NicoLeProf
Tu sais faire la récurrence ?