Symétrie vectorielle

hilali · May 2023

Bonjours
$E$ un e.v sur un corps quelconque $K$.
J'aimerais définir une symétrie vectorielle comme étant un endomorphisme $s$ pour lequel $\ker(s-id_E)$ et $\ker(s+id_E)$ sont supplémentaires, mais avec cette définition je ne trouve pas de symétrie en caractéristique 2 !
Je voudrais savoir si j'ai bien définie une symétrie ?
Merci d'avance.

Math Coss · May 2023

Une symétrie en caractéristique deux, je ne sais pas bien ce que c'est. Une involution ? Ça ressemble alors plutôt à une transvection, cf. $\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)$.

hilali · May 2023

Une involution linéaire est un endomorphisme $u$ vérifiant $u^2=id_E$;
en caractéristique 2 ceci n'implique pas que $E=\ker(u-id_E)\oplus\ker(u+id_E)$ comme le montre votre exemple

Math Coss · May 2023

D'accord. En caractéristique deux, $u^2=\mathrm{id}$ équivaut à $(u-\mathrm{id})^2=0$ : nilpotent + identité. Pas du tout l'intuition d'une symétrie !

Symétrie vectorielle

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