Matrice 3x3 particulière
Bonjour,
je cherche les matrices 3x3 dont les nombres constitutifs sont des entiers relatifs et vérifiant ceci.
je cherche les matrices 3x3 dont les nombres constitutifs sont des entiers relatifs et vérifiant ceci.
Si la matrice M est
a, b, c
d, e, f
g, h, i
alors on a les relations suivantes :
ab + de = gh ; ac + df = gi ; bc + ef = hi ; ad + be = cf ; ag + bh = ci , dg + eh = fi.
a, b, c
d, e, f
g, h, i
alors on a les relations suivantes :
ab + de = gh ; ac + df = gi ; bc + ef = hi ; ad + be = cf ; ag + bh = ci , dg + eh = fi.
Un exemple : a = 26, b = 111, c = 114, d = 33, e = 134, f = 138, g = 42, h = 174, i = 179.
Connaissez-vous une méthode pour trouver ces matrices ?
Bien cordialement.
kolotoko
Connaissez-vous une méthode pour trouver ces matrices ?
Bien cordialement.
kolotoko
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Réponses
En notant $G$ la matrice diagonale $(1,1,-1)$, ta relation est équivalente à $M^t G M$ diagonale. Mais ton exemple satisfait $M^tGM = G$. Est-ce que c'est cette relation plus précise que tu voulais ? Si oui, ce groupe a un nom, $O(2,1)(\mathbb{Z})$. Il est de type fini (commensurable à $PSL_2(\Z)$ via l'action par conjugaison sur les matrices de trace nulle, munies de la forme quadratique $-\det$) et les générateurs ne doivent pas être bien difficiles à trouver, mais j'ai la flemme de faire le calcul complet. Il doit suffire de prendre les permutations signées qui vont bien et une paire d'autres matrices, du genre
Aurel
merci pour ces explications .
Bien cordialement.
kolotoko
Aurel
merci pour ces considérations.
Un exemple avec la nullité du déterminant :
a = 6460, b = 13104, c = 14196, d = 6625, e = 15900, f = 17225, g = 8585, h = 20604, i = 22321
Bien cordialement.
kolotoko