Un enrobage amusant

Math Coss · May 2023

Au hasard de mes pérégrinations sur le forum, je suis tombé sur l'exercice suivant.

Soit $B$ une variable aléatoire normalement distribuée dont l'espérance est nulle et la variance vaut $1$. Trouver la probabilité que l’équation quadratique \begin{equation} X^2+2BX+1=0.
\end{equation} ait deux racines réelles.
Quelle est la probabilité que ses racines $X_1$, $X_2$ soient supérieures à $\frac{1}{5}$ ?

Math Coss · May 2023

L'équation a deux racines réelles SSI $B^2−1\ge0$ SSI $B\in[−1,1]$. Avec la description de $B$ comme suivant la loi normale centrée réduite, ça permet de trouver la probabilité sur la table ou avec la calculette que l'on voudra.

Si cette condition est remplie, les racines sont $X_\pm=-B\pm \sqrt{B^2-1}$. Pour qu'elles soient toutes deux positives, il est donc nécessaire d'avoir $B\le-1$ et la plus petite est $X_-=-B-\sqrt{B^2-1}$. Il s'agit de résoudre $-B-\sqrt{B^2-1}\ge1/5$. Un dessin pourrait donner confiance dans les calculs à venir.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/xw/sc6mss8az4jg.png

Math Coss · May 2023

NB : Je parle d'enrobage parce que la partie probabiliste est essentiellement une lecture de la table de la loi normale quand la partie algébrique nous renvoie à nos chères études lycéennes.

Un enrobage amusant

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