B13. On va se ramener à un système matriciel, on s'y sent invité avec la question précédente. $ \begin{cases} y'=Ay \\ y(0)=x_0 \end{cases} $ Bon pourquoi l'accolade est trop petite. On admet alors que la solution est de la forme $\forall t \in \mathbb{R}, g_{x_0}(t)=e^{t.A}.x_0$. C'est un résultat du programme. L'appel de B11. est fort ... avec les valeurs propres à valeurs réelles qui doivent être négatives... On devine que l'on va passer par là. Déjà avec B12 : $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$ Ça c'est pour l'idée, après je rédige : $\forall x_0 \in \mathbb{R}^n,\ \lim_{t \mapsto +\infty} || g_{x_0}(t) ||=0 \Rightarrow Sp(A) \subset \mathbb{R}^{*-} + i\mathbb{R}$
$\bullet$ Partons de $\forall t \in \mathbb{R}$ , $\forall x_0 \in \mathbb{R}^n$, $ g_{x_0}(t)=e^{t.A}.x_0$ et on émet l'hypothèse $ \displaystyle{\lim_{t \mapsto +\infty} || g_{x_0}(t) ||=0}$. On fait apparaître les valeurs propres : soit $\lambda \in Sp(A)$ et $z \in \mathbb{C}^n$ tel que $Az=\lambda.z$. On décompose $z$ dans $(\mathbb{R}^n)^2$. $\exists x,y \in \mathbb{R}^n, z=x+iy$ Il faut remarquer qu'en utilisant $e^{tA}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=+\infty}
\frac{t^k.A^k}{k!}}$, $e^{tA}.z=e^{t\lambda}.z$. $||g_z(t)||=||e^{tA}.z||=||e^{tA}.(x+iy)||\leq ||e^{tA}.x|| + ||e^{tA}.y||=||g_x(t)||+||g_y(t)||$ Or, $||g_z(t)||=||e^{t\lambda}.z||$ et on peut passer à la limite dans $||e^{t\lambda}.z|| \leq ||g_x(t)||+||g_y(t)||$, $||e^{t\lambda}.z||=|e^{t\lambda}|.||z||=e^{t\mathfrak{Re}(\lambda)}.||z||$ Comme $\lim_{t \mapsto +\infty} || g_x(t) ||=0$ et $\lim_{t \mapsto +\infty} || g_y(t) ||=0$ alors $\lim_{t \mapsto +\infty} e^{t\mathfrak{Re}(\lambda)}=0$ Donc $\mathfrak{Re}(\lambda) < 0$ On a montré que $\boxed{Sp(A) \subset \mathbb{R}^{*-} + i\mathbb{R} }$
$\bullet$ Réciproque. De $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq
\displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}
}$ On écrit $\forall t \in \mathbb{R}$ , $ ||g_{x_0}(t)|| \leq = ||e^{t.A}.x_0 || \leq |||e^{t.A}|||_{\mathcal{C}}.||x_0|| \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}.||x_0|| }$. En utilisant $\lim_{t \mapsto +\infty} \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} } = 0$ On a montré que $\boxed{\lim_{t \mapsto +\infty} || g_x(t) ||=0 }$ qd $x \in \mathbb{R}^n$
[EDIT : corrections des $\lambda, \lambda_i$ ], gebrane.
B14 On va utiliser ce qu'on a vu avant : $\forall t \in \mathbb{R}$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq
\displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}
}$ et y repenser pour demain !
Si tu n'es pas d'accord écrit ta solution que je comprenne ! Car pour moi ce que j'ai écrit est limpide comme de l'eau de roche.
@Gebrane c'est difficile de te corriger à cause des erreurs que tu
accumules depuis le début. Et tu prétends que tout est limpide comme de
l'eau de roche. Comme par exemple, ici, confondre l'espace de départ
de $u_A$
avec $\R,$ de $v_A$ avec $\C.$ Ensuite passer de $|||u_A|||_r \leq
|||v_A|||_C $ à $e^{t |||u_A|||_r} \leq e^ {t |||v_A|||_C}$ alors qu'
on demande de démontrer $|||e^{t u_A} |||_r \leq |||e^{ t v_A}|||_C.$
Depuis le début, tout est truffé d'erreurs d'écriture et il y a beaucoup de non-sens. Tu donnes l'impression de ne rien comprendre aux maths et
puis comme par hasard cela devient (presque correct) comme dans ton dernier message que je viens seulement de voir.
@Gebrane c'est difficile de te corriger à cause des erreurs que tu
accumules depuis le début. Et tu prétends que tout est limpide comme de
l'eau de roche.
Depuis le début, tout est truffé d'erreurs d'écriture et il y a beaucoup de non-sens. Tu donnes l'impression de ne rien comprendre aux maths et
puis comme par hasard cela devient (presque correct) comme dans ton dernier message que je viens seulement de voir.
Excuse moi bd2017, je ferais l'effort de ne plus commettre des conneries et soit indulgent en vers gebrane
Mais pourquoi veux-tu faire ce problème? Il n'y a rien dedans. Tout au moins, on est à la question 14. et A mise sous la forme de Jordan donne tout de suite le résultat. Beaucoup de questions pour si peu. Ce n'est pas un sujet original et il est ennuyant.
Imaginons un QCM : A- MangeurAnnales est Gebrane B- MangeurAnnales est OShine C- MangeurAnnales est un autre forumeur 'connu' D- MangeurAnnales est un nouveau forumeur et n'a pas d'autre pseudo.
Et imaginons que je doive miser 10€ ; la bonne réponse permet de gagner 2 fois sa mise. Je mise 7€ sur l'option A, et 1€ sur les autres options, pour ne pas repartir bredouille au cas où. Voire 8€ sur l'option A, et rien sur l'option B.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@bd2017 Dis donc tu pourrais au moins reconnaître que la question 13 est bien rédigée !
Soit un peu sport et fun de temps en temps, ça égayera le fil. En tout cas je suis déjà à plus de 1000 vues, pour un sujet inintéressant, je trouve que c'est pas mal. Je deviens ainsi une vedette du forum dans un délai très court. Vous imaginez si les questions étaient vraiment traitées en duo avec @OShine ! J'exploserai tous les compteurs.
En tout cas je confirme qu'il n'y a qu'une seule bonne réponse dans le QCM.
@bd2017 Dis donc tu pourrais au moins reconnaître que la question 13 est bien rédigée !
À part le $\lambda$ qui devient $\lambda_i.$ Bon, tu as de la chance, je suis sympa ce soir. Je reviens d'un souper avec des amis. J'ai un peu bu. Alors oui la question 13 me semble correcte. Tu as beaucoup progressé ! Contrairement à ton favori, je peux te conseiller d'aborder des problèmes de X-Normal sup.
Quant au QCM je mise 2 fois pour la réponse A: @gebrane=@avaleurd'annales
@Oshine Concernant le sujet, j'ai l'impression qu'il y a trop de questions pour arriver à Q.14. C'est en cela que j'ai trouvé cette partie un peu ennuyante. L'essentiel étant dans la question Q10 où de la norme il faut savoir sortir le terme $e^{t \Re (\lambda_i)}.$
Maintenant le résultat mérite d'être connu et la suite mérite d'être regardée.
Tu peux très bien continuer le problème, c'est à dire la partie C, et le finir sans avoir fait les questions précédentes. En analyse, je remarque que les équations différentielles, ça tombe souvent à l'agrégation. C'est le cas du sujet d'Agrégation interne de cette année.
À tous : @gebrane mon cousin, @OShine mon ami et @bd2017 mon correcteur préféré j'en suis déjà à plus de 1400 vues !
Je suis très honoré de ces statistiques. Je vais corriger l'histoire des $\lambda_i$ qui sont liés à un mauvais copier-coller, mais vous l'avez compris, cela n'altère en aucun cas le travail effectué. Je rajouterai une section [EDIT] dans le message.
Je ne vais pas tarder à reprendre le travail. J'ai regardé les quelques posts de mon ami sur le groupe symétrique, et franchement, il peine à franchir plus de 500 vues. Je vais regarder les résultats des posts de l'X et de l'agrégation interne.
j'ai l'impression qu'il y a trop de questions pour arriver à Q.14.
Je continue ce qu'on a commencé. Q14 on a \[ \forall t\geq 0, \, | e^{t.A}|_{\mathcal{r}} \leq C| e^{t.A}|_{\mathcal{C}} \leq C P(t) \sum_{i=1}^{i=r} e^{-t.\mathrm{Re}(-\lambda_i)} \leq \Big[ C P(t) \sum_{i=1}^{i=r} e^{-t.\frac{a}{2}} \Big] e^{-t.\frac{a}{2}} \leq M e^{-t.\frac{a}{2}}, \] avec $a=\min \mathrm{Re}(-\lambda_i)>0$ Ça plait ?
Pourquoi remonter le temps ? As-tu lu la question ?
Pour l'optimalité, j'ai écrit $a=\frac{a}{2} + \frac{a}{2}$. Si tu
cherches mieux, prends n'importe quel $\gamma\in\,]0,a[$ et écris que $a =
a - \gamma + \gamma$.
Tu me donnes l'impression que tu veux critiquer pour le plaisir de critiquer !
B14 Je repars d'un précédent post On va utiliser ce qu'on a vu avant : $\forall t \in \mathbb{R}$,
$||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq
\displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}
}$ D'ailleurs le fait que $t>0$ fait qu'il est facile de majorer l'exponentielle. On peut faire sauter la valeur absolue. Donc on veut passer de $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq \displaystyle{ |P(t)|. \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}
}$ à $\exists C_2 > 0$ et $\exists \alpha > 0$ tq $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq C_2.e^{-\alpha.t}$. C'est plus clair pour réfléchir
Si on veut travailler sur $t<0$, la majoration ne sera pas possible puisque l'exponentielle va diverger. Donc pour moi $t<0$ n'a pas de sens.
Analyse. Pour atteindre le max de $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}$ il faut considérer $\gamma = min_i \{\mathfrak{Re}(\lambda_i) \}$ pour avoir $\forall t \in \mathbb{R}^+, e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} \leq .e^{-\gamma.t}$. Il faut comprendre qu'on veut passer à la limite sur la variable $t$ donc il faut écraser le polynôme par l'exponentielle. Je pense que la finesse détectée par @gebrane immédiatement; cela ne m'est pas venu à l'esprit au départ. Bravo à lui. Et c'est la perversion de la question vénimeuse classique des concours. Donc en effet il faut faire ce qui a été dit $\gamma=1/2.\gamma+1/2.\gamma$ mais on peut faire aussi $\gamma=1/4.\gamma+3/4.\gamma$ cela ne changera rien donc je suis d'accord avec @gebrane. $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq
\displaystyle{ |P(t)|.e^{-\frac{\gamma.t}{2}} \sum_{i=1}^{i=r} e^{-\frac{\gamma.t}{2} }
}$. On pose alors $\alpha=\frac{\gamma}{2}$ et $C_2=sup_{ t \in \mathbb{R}^+} |P(t).e^{-\frac{\gamma.t}{2}}|$.
Après on pourrait dériver par rapport à $\alpha$ pour trouver une valeur optimale ... Mais bon quel intérêt ? D'accord ?
@MangeurAnnales Je travaille d'abord mon cours, le prochain sujet que je ferai sera un XENS ou un Centrale. Les sujets des Mines les notations sont lourdes.
@Oshine Les notations de la partie C ne sont pas lourdes. C'est dommage car c'est là que le problème devient intéressant et il reste peu de travail à faire.
Alors @dévoreurannales, il va falloir te mouiller seul. Oser produire quelque chose et te soumettre à mes féroces critiques.
On veut montrer que $b$ est un produit scalaire. On doit vérifier que $b$ est bilinéaire symétrique définie positive.
Soient $x,y,z \in \mathbb{R}^n$
$b(x,x)=\int_0^{+\infty} <e^{at}(x),e^{at}(x)> dt =\int_0^{+\infty} ||e^{at}(x)||^2 dt \geq 0$ donc positive car la norme est positive et donc l'aire sous la courbe est positive
$b(x,x)=0 \Leftrightarrow e^{at}(x)=0 \forall x \in \mathbb{R}^n \Leftrightarrow x=0$
$b(x,y)=b(y,x)$
$b(\lambda.x+\mu.y,z)=\lambda.b(x,z)+\mu.b(y,z)$, idem avec la deuxième variable (point précédent), cela résulte de la linéarité du produit scalaire et de l'intégrale
Mangeur, Au lieu d'avancer, tu recules. Pour la 15 c'est du blabla L’intégrale est convergente par la question précédente et majoration du produit scalaire par ce qu'il faut la forme est bilinéaire symétrique positive, elle est définie essentiellement par continuité de $t\to e^{-ta}$
Ici il y a une grosse ruse : on a une dérivation du produit scalaire.
$(e^{ta})'=a \circ e^{ta}$ Là il faut maîtriser ce point car on a $<e^{at}(x),e^{at}(a(x))> =<e^{at}(x),(e^{ta}(x))'>$, il y a quelque chose à savoir ...
A demain. J'évite de dire des bêtises le soir. Mais la réponse s'impose : $2<e^{at}(x),(e^{ta}(x))'>=(<e^{at}(x),(e^{ta}(x))>)'$, en fait cela se dérive comme un produit pas je n'ai pas l'explication. Je pense qu'il faut exprimer le produit scalaire sans produit scalaire justement et dériver.
@OShine Le problème fait revoir plein de notions : intégration, norme, équation différentielle, exponentielle de matrice, projecteurs linéaires, valeurs propres, sous-espaces caractéristiques ... même si cela est parfois surfait tu révises un paquet de leçons.
@canibaledannales Il faut corriger Cauchy Schwarz (il n' y a pas de $t$) .
Concernant cette dernière question où tu ne veux pas dire de bêtises: tu as $(||u(t)||^2 )' = 2 <u(t)| u'(t)> $ (pourvu que $u$ soit assez régulière). Et tu es capable de le démontrer puisque tu as su calculer $dq.$
Tu ne peux pas me reprocher de critiquer pour le plaisir et ensuite de ne pas critiquer assez.
Oui ceci est très critiquable. Mais il n'y a pas de fautes, par contre on constate un manque de justification c'est certain et une faute de rédaction. Ton ami @Oshine n'aurait pas accepté.
Réponses
On va se ramener à un système matriciel, on s'y sent invité avec la question précédente.
$ \begin{cases} y'=Ay \\ y(0)=x_0 \end{cases} $ Bon pourquoi l'accolade est trop petite.
On admet alors que la solution est de la forme $\forall t \in \mathbb{R}, g_{x_0}(t)=e^{t.A}.x_0$. C'est un résultat du programme.
L'appel de B11. est fort ... avec les valeurs propres à valeurs réelles qui doivent être négatives... On devine que l'on va passer par là.
Déjà avec B12 : $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$
Ça c'est pour l'idée, après je rédige :
$\forall x_0 \in \mathbb{R}^n,\ \lim_{t \mapsto +\infty} || g_{x_0}(t) ||=0 \Rightarrow Sp(A) \subset \mathbb{R}^{*-} + i\mathbb{R}$
On fait apparaître les valeurs propres : soit $\lambda \in Sp(A)$ et $z \in \mathbb{C}^n$ tel que $Az=\lambda.z$. On décompose $z$ dans $(\mathbb{R}^n)^2$. $\exists x,y \in \mathbb{R}^n, z=x+iy$
Il faut remarquer qu'en utilisant $e^{tA}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=+\infty} \frac{t^k.A^k}{k!}}$, $e^{tA}.z=e^{t\lambda}.z$.
$||g_z(t)||=||e^{tA}.z||=||e^{tA}.(x+iy)||\leq ||e^{tA}.x|| + ||e^{tA}.y||=||g_x(t)||+||g_y(t)||$
Or, $||g_z(t)||=||e^{t\lambda}.z||$ et on peut passer à la limite dans $||e^{t\lambda}.z|| \leq ||g_x(t)||+||g_y(t)||$, $||e^{t\lambda}.z||=|e^{t\lambda}|.||z||=e^{t\mathfrak{Re}(\lambda)}.||z||$
Comme $\lim_{t \mapsto +\infty} || g_x(t) ||=0$ et $\lim_{t \mapsto +\infty} || g_y(t) ||=0$ alors $\lim_{t \mapsto +\infty} e^{t\mathfrak{Re}(\lambda)}=0$
Donc $\mathfrak{Re}(\lambda) < 0$
On a montré que $\boxed{Sp(A) \subset \mathbb{R}^{*-} + i\mathbb{R} }$
De $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$
On écrit $\forall t \in \mathbb{R}$ , $ ||g_{x_0}(t)|| \leq = ||e^{t.A}.x_0 || \leq |||e^{t.A}|||_{\mathcal{C}}.||x_0|| \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}.||x_0|| }$.
En utilisant $\lim_{t \mapsto +\infty} \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} } = 0$
On a montré que $\boxed{\lim_{t \mapsto +\infty} || g_x(t) ||=0 }$ qd $x \in \mathbb{R}^n$
On va utiliser ce qu'on a vu avant : $\forall t \in \mathbb{R}$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$ et y repenser pour demain !
gebrane est un mangeur d'annales.
A- MangeurAnnales est Gebrane
B- MangeurAnnales est OShine
C- MangeurAnnales est un autre forumeur 'connu'
D- MangeurAnnales est un nouveau forumeur et n'a pas d'autre pseudo.
Et imaginons que je doive miser 10€ ; la bonne réponse permet de gagner 2 fois sa mise.
Je mise 7€ sur l'option A, et 1€ sur les autres options, pour ne pas repartir bredouille au cas où. Voire 8€ sur l'option A, et rien sur l'option B.
Tu le trouves facile comment sujet ?
C'est vrai qu'il ne donne pas spécialement envie.
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Remarquable @OShine !
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Et là on dépasse les 10000 vues. Je ne peux que m'incliner.
Q14 on a \[
\forall t\geq 0, \, | e^{t.A}|_{\mathcal{r}} \leq C| e^{t.A}|_{\mathcal{C}} \leq C P(t) \sum_{i=1}^{i=r} e^{-t.\mathrm{Re}(-\lambda_i)} \leq \Big[ C P(t) \sum_{i=1}^{i=r} e^{-t.\frac{a}{2}} \Big] e^{-t.\frac{a}{2}} \leq M e^{-t.\frac{a}{2}},
\] avec $a=\min \mathrm{Re}(-\lambda_i)>0$
Ça plait ?
Bon passe à la suite.
Je repars d'un précédent post
On va utiliser ce qu'on a vu avant : $\forall t \in \mathbb{R}$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq ||| e^{t.A}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{ P(|t|). \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$
D'ailleurs le fait que $t>0$ fait qu'il est facile de majorer l'exponentielle. On peut faire sauter la valeur absolue. Donc on veut passer de
$\forall t \in \mathbb{R}^+$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq \displaystyle{ |P(t)|. \sum_{i=1}^{i=r} e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} }$ à $\exists C_2 > 0$ et $\exists \alpha > 0$ tq $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq C_2.e^{-\alpha.t}$. C'est plus clair pour réfléchir
Pour atteindre le max de $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)}$ il faut considérer $\gamma = min_i \{\mathfrak{Re}(\lambda_i) \}$ pour avoir $\forall t \in \mathbb{R}^+, e^{t.\mathfrak{Re}(\lambda_i)} \leq .e^{-\gamma.t}$.
Il faut comprendre qu'on veut passer à la limite sur la variable $t$ donc il faut écraser le polynôme par l'exponentielle. Je pense que la finesse détectée par @gebrane immédiatement; cela ne m'est pas venu à l'esprit au départ. Bravo à lui. Et c'est la perversion de la question vénimeuse classique des concours.
Donc en effet il faut faire ce qui a été dit $\gamma=1/2.\gamma+1/2.\gamma$ mais on peut faire aussi $\gamma=1/4.\gamma+3/4.\gamma$ cela ne changera rien donc je suis d'accord avec @gebrane.
$\forall t \in \mathbb{R}^+$, $||| e^{t.A}|||_{\mathcal{r}} \leq \displaystyle{ |P(t)|.e^{-\frac{\gamma.t}{2}} \sum_{i=1}^{i=r} e^{-\frac{\gamma.t}{2} } }$.
On pose alors $\alpha=\frac{\gamma}{2}$ et $C_2=sup_{ t \in \mathbb{R}^+} |P(t).e^{-\frac{\gamma.t}{2}}|$.
D'accord ?
OShine tu es prêt ?
Je travaille d'abord mon cours, le prochain sujet que je ferai sera un XENS ou un Centrale.
Les sujets des Mines les notations sont lourdes.
Non, c'est assez surfait en vérité.
- $b(x,x)=\int_0^{+\infty} <e^{at}(x),e^{at}(x)> dt =\int_0^{+\infty} ||e^{at}(x)||^2 dt \geq 0$ donc positive car la norme est positive et donc l'aire sous la courbe est positive
- $b(x,x)=0 \Leftrightarrow e^{at}(x)=0 \forall x \in \mathbb{R}^n \Leftrightarrow x=0$
- $b(x,y)=b(y,x)$
- $b(\lambda.x+\mu.y,z)=\lambda.b(x,z)+\mu.b(y,z)$, idem avec la deuxième variable (point précédent), cela résulte de la linéarité du produit scalaire et de l'intégrale
Question archi nulle.Pour la 15 c'est du blabla
L’intégrale est convergente par la question précédente et majoration du produit scalaire par ce qu'il faut
la forme est bilinéaire symétrique positive, elle est définie essentiellement par continuité de $t\to e^{-ta}$