Séries numériques et domination

Si pour les autres termes, je prends $\frac{1}{n^2}$ c'est bon ?

OK donc voici le raisonnement.
Soit $(u_n)$ tel que $u_{n} =\frac{1}{n^2}$ si $n \neq 2^k$ avec $k \in \mathbb N$ et $u_{2^k}=\frac{1}{k^2}$ avec $k \in \mathbb N$
Déjà $(u_n) $ n'est pas dominée par $\frac{1}{n}$ car  $\lim_{+\infty} 2^n u_{2^n}= \lim_{+\infty} 2^n/n^2=+\infty$
Quelle propriété permet d'indiquer que $n u_n $ ne converge pas vers 0 juste parce que pour certaines valeurs de $n$ $n u_n$ ne converge pas vers 0?
Merci.

La sous suite $(v_n) $ telle que $v_n=2^n u_{2^n}$ diverge donc la suite $(w_n)$ telle que $w_n=n u_n$ ne peut pas converger.
Ainsi $(u_n) $ n'est pas dominée par $1/n$
Montrons que la série $\sum_{k=1}^{n}u_k$ est convergente.
$\sum_{k=1}^{n}u_n = \sum_{i=2^k |k \in \mathbb N}^{n}u_i + \sum_{i \neq 2^k | k \in \mathbb N}^{n}u_i =S_n + R_n$
$(S_n) $ converge car elle est majorée par la série $\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k^2}$ qui converge.
$(R_n) $ converge car elle est majorée par la série $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ qui converge.
On a donc un exemple de série convergente dont le terme général strictement positif n'est pas dominé par $1/n$.
Bon ?

Quelle partie est à améliorer ?