Convergence de série de variables aléatoires

Bonjour, je dois démontrer l'énoncé suivant.

Soit $(\psi_k)_{ k \in Z}$ une suite absolument sommable, i.e. $\sum_{k \in \mathbb{Z} } |\psi_k| < \infty$ et soit $(X_t)$ un processus tel que $\sup_{t \in \mathbb{Z}} \mathbb{E}[|X_t|] = C < \infty$
Alors,
1) pour tout $t \in Z$, la suite définie par : $Y_{n,t} =\sum_{k=-n}^{n} \psi_k X_{t-k}$ converge presque sûrement, lorsque$ n \to \infty$ vers une limite $Y_t$ notée $Y_t = \sum_{k\in \mathbb{Z}} \psi_k X_{t-k}$.
2) De plus $\mathbb{E}(|Y_t|) < \infty$ et $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(|Y_{n,t} - Y_t|] = 0$.
3) Enfin, si $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$, alors $\mathbb{E}(Y_t^2) < \infty$.

Je voulais savoir si mon approche était correcte car j'ai la désagréable impression d'être à côté de la plaque sans réussir à mettre le doigt dessus.
Mon idée est la suivante.

On pose $\mu$ la mesure de comptage sur $\mathbb{Z}$.
D'après le théorème de Fubini-Tonelli, on a
\begin{align*}\mathbb{E}(\sum_{k\in\mathbb{Z}} |\psi_k X_{t-k}|) &= \int_{\Omega \times \mathbb{Z}} |\psi_k X_{t-k}(\omega)| d (\mathbb{P} \otimes \mu)(\omega, k) \\
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbb{E}(| \psi_k X_{t-k} |) \\
&\leq \sum_{k \in \mathbb{Z}} | \psi_k |  C \\
&< \infty\end{align*}
Donc $|f|$ est intégrable sur l'espace produit $\Omega \times \mathbb{Z}$, ce qui nous donne la convergence $L^1$ de la série de v.a. $\sum_{k\in\mathbb{Z}} |\psi_k X_{t-k}|$.
Or, la convergence $L^1$ implique la convergence en proba. Et la convergence en proba implique qu'une sous-suite converge presque sûrement. Notre suite de v.a. étant croissante (série de termes positifs), on a donc la convergence presque sûre de $\sum_{k\in\mathbb{Z}} |\psi_k X_{t-k}|$.

Ce qui implique donc la convergence presque sûre de notre série initiale $\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi_k X_{t-k}$.

Pour le deuxième point, on a $\sum_{k\in\mathbb{Z}} |\psi_k X_{t-k}| \geq |Y_t|$, et comme le premier est dans $L^1$, alors $Y_t$ aussi est dans $L^1$.

Le troisième point je bloque totalement, intuitivement j'aurais tendance à vouloir $\sup_{t\in\mathbb{Z}} \mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ au lieu de la condition de l'énoncé.