Propriété métrique vs topologique

Et l'article wikipedia donne ces définitions. Tu peux dire par exemple que $(X,d)$, ressemble à $(Y,d')$ si il existe $f : X \mapsto Y$ une bijection telle que il existe $a,b>0$ tel que pour tout $x_1,x_2 \in X,$ $ad(x_1,x_2) \leq d'(f(x_1),f(x_2)) \leq bd(x_1,x_2)$, dans ce cas là, la complétude est une propriété métrique car pour tout $X$ et $Y$ qui se ressemblent en tant qu'espace métrique selon cette définition : $X$ est complet si et seulement si $Y$ est complet. Pareil pour la bornitude.  Maintenant cette définition peut être trop contraignante selon ce qu'on veut faire, donc on peut être amené à prendre des définitions avec des hypothèses plus faibles mais qui restent pertinentes et la page Wikipédia donne 4 définitions pertinentes et plus ou moins précises sur le degré de ressemblance (Wikipedia reste sur le même espace, mais si tu veux l'analogue avec 2 espaces tu changes identité avec une bijection, et tu modifies la suite pour que ça soit cohérent).

Si tu préfères au lieu de parler de propriété métrique au sens général on pourrait parler de "propriété métrique Lipschitz", "propriété métrique bornologique", "propriété métrique uniforme". C'est peut-être à cause de ces subtilités qu'on ne croise pas souvent l'expression propriété métrique.