Eléments propres d'un endomorphisme dans C_n[X]
Bonjour.
$n$ est un entier non nul et $a$ et $b$ sont deux complexes distincts
(énoncé original : réels ; mais il me semble que ça ne change rien).
On considère l'endomorphisme de $\C_n[X]$ défini par $u(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$
(on demandait de montrer que c'est bien un endomorphisme).
$n$ est un entier non nul et $a$ et $b$ sont deux complexes distincts
(énoncé original : réels ; mais il me semble que ça ne change rien).
On considère l'endomorphisme de $\C_n[X]$ défini par $u(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$
(on demandait de montrer que c'est bien un endomorphisme).
On demande s'il est diagonalisable et ses espaces propres.
Je les ai, mais j'ai salement travaillé ; j'aimerais connaître une méthode "propre".
D'abord, j'ai montré qu'un vecteur propre avait nécessairement pour degré $n$
(supposons que $P$ soit propre et de degré $k$, en regardant le coefficient dominant, on obtient $k=n$).
Je les ai, mais j'ai salement travaillé ; j'aimerais connaître une méthode "propre".
D'abord, j'ai montré qu'un vecteur propre avait nécessairement pour degré $n$
(supposons que $P$ soit propre et de degré $k$, en regardant le coefficient dominant, on obtient $k=n$).
Ensuite j'ai remarqué que (en notant $P$ un vecteur propre et $\lambda$ la valeur propre associée) :
($P$ admettait $a$ et $b$ pour racines) ou ($\lambda=-na$) ou ($\lambda=-nb$).
($P$ admettait $a$ et $b$ pour racines) ou ($\lambda=-na$) ou ($\lambda=-nb$).
J'ai traité les deux derniers cas en résolvant une équation différentielle : le sous-espace propre associé à $-na$ est engendré par $(X-b)^n$, idem pour l'autre.
J'ai décidé de regarder (en tentant ma chance) si $(X-a)^k(X-b)^{n-k}$ était vecteur propre, et ça marche avec les valeurs propres $-kb-(n-k)a$ !
J'ai décidé de regarder (en tentant ma chance) si $(X-a)^k(X-b)^{n-k}$ était vecteur propre, et ça marche avec les valeurs propres $-kb-(n-k)a$ !
Ouf, j'ai $n+1$ valeurs propres distinctes, terminé !
Mais quel sale boulot.
Mais quel sale boulot.
Quelqu'un peut-il m'indiquer une méthode plus élégante ?
(parce que j'ai eu de la chance que les polynômes ne soient pas de la forme $(X-a)(X-b)Q$ avec $Q$ à déterminer.
(parce que j'ai eu de la chance que les polynômes ne soient pas de la forme $(X-a)(X-b)Q$ avec $Q$ à déterminer.
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Réponses
Je dois avoir une erreur de signe, mais il est tard.
Mais je trouve bien les polynômes $(X-a)^k(X-b)^{n-k}$ et seulement ceux-là (pas d'autre racine pour $P$) et $\lambda=a(n-k)+kb$.
Super ! Merci encore.
J'ai un gros doute ... ta définition $u(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$ implique que $\deg(U(P))=\deg(P)+1$; gênant pour rester dans $C_n[X]$.
Cordialement.
On décompose en éléments simples à droite : $$\frac{P'}{P}=\frac{\alpha}{X-a}+\frac{\beta}{X-b},$$
avec $\alpha+\beta=n$ et $\alpha b+\beta a=\lambda$.
En intégrant "formellement", on obtient $P=(X-a)^{\alpha}(X-b)^{\beta}$, à une constante multiplicative près.
$\alpha+\beta=n$, et $P$ est un polynôme donc $\alpha, \beta\in\N$.
Bilan des courses : tout polynôme propre est de la forme $(X-a)^k(X-b)^{n-k}$, à une constante multiplicative près.
Notons $P_k=(X-a)^k(X-b)^{n-k}$ avec $k\in[\![0,n]\!]$.
Après calcul, $u(P_k)=-(kb+(n-k)a)P_k$.
(et au passage, les $P_k$ forment une base de $\C_n[X]$).
Encore merci.
Si $A$ est scindé, $A=(X-a_1)^{r_1}\dots(X-a_p)^{r_p}$, alors $A'/A=\sum_{k=1}^p r^k/(X-a_k)$.
$P$ est scindé (on travaille sur $\C$), donc par unicité, $a$ et $b$ sont les seules racines de $P$, avec les multiplicités $\alpha$ et $\beta$ (qui sont donc entiers naturels).
Donc $P=(X-a)^{\alpha}(X-b)^{\beta}$. De plus, on sait que $\alpha+\beta=n$.