Projecteurs orthogonaux qui commutent

Bonjour.
Un exercice sur BEOS.

$E$ est un espace euclidien, $F, G, H$ sont trois sous-espaces vectoriels de $E$.
On note $p_F$ la projection orthogonale sur $F$.
a) Montrer que $F=\{x\in E\mid ||p_F(x)||=||x||\}$.
b) Montrer : $\forall x\in E,\ ||p_F(x)||\leq||x||$.
c) Montrer : $\forall(x,y)\in E^2,\ <p_F(x),y>\,=\,<x,p_F(y)>$.
On note $p_G$ la projection orthogonale sur $G$.
On suppose que $p_F\circ p_G=p_H$, la projection orthogonale sur $H$.
d) Montrer que $H=F\cap G$.
e) Montrer que $p_F$ et $p_G$ commutent.
Réciproquement, on suppose que $p_F$ et $p_G$ commutent.
f) Montrer qu'il existe $H$ tel que $p_F\circ p_G=p_H$.

J'ai résolu l'exercice, mais l'ordre des questions m'interpelle :
J'utilise b) pour faire a) ; et j'utilise e) pour faire d)
Et d'ailleurs, a) ne m'a servi à rien dans le suite...

D'où ma question ; peut-on montrer a) sans b) ; et d) sans e) ?
Merci.