1111...11 - n fois

Tyoussef · May 2023

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)

On pose $$ Q_n = \underbrace{111\dots11}_{ n \text{ fois} }.$$ Montrer que, si $ Q_n$ est un premier, alors $n$ est un premier aussi.

Merci d'avance.

Tyoussef · May 2023

Je n'ai pas d'idées cette fois ci, mais le seul cas que j'ai trouvé c'est $n= 2$

kioups · May 2023

Si $n$ est pair, $Q_n$ est divisible par $11$. Si $n$ est divisible par $3$, $Q_n$ est aussi divisible par $3$. Je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick...

gerard0 · May 2023

Bonjour.
C'est quasi- évident ! Contraposition : si n n'est pas premier, si n=pq, alors $Q_n$ est constitué de p paquets de q 1, factorisation évidente.
Cordialement.

Rescassol · May 2023

Bonjour,

Tu peux chercher "rep-unit" dans ton moteur de recherche favori.

Cordialement,
Rescassol

Tyoussef · May 2023

@ kioups

À mon avis, c'est dans l'autre sens : $Q_n$ est premier, implique $n$ est premier.

Guego · May 2023

$10^{pq}-1 = (10^p-1)\displaystyle \sum_{k=1}^{q-1} 10^{p(q-1-k)}$. Ainsi, $Q_{pq}$ est divisible par $Q_p$.

kioups · May 2023

Tyoussef a dit :

@ kioups
A mon avis, c'est dans l'autre sens : $Q_n$ est premier, implique $n$ est premier

Autrement dit, si $n$ n'est pas premier, $Q_n$ n'est pas premier.

Soc · May 2023

Guego a dit :

$10^{pq}-1 = (10^p-1)\displaystyle \sum_{k=1}^{q-1} 10^{p(q-1-k)}$. Ainsi, $Q_{pq}$ est divisible par $Q_p$.

C'est la formalisation rigoureuse de ce que proposait Gerard0 (à un facteur 9 près).

Puisque l'on est dans les 1, sauriez-vous deviner le résultat de 111 111 111 x 111 111 111 avant d'interroger votre calculatrice préférée?

lourrran · May 2023

Le message de gerard0 est passé inaperçu, je le reprends :

Si $n$ n'est pas premier, il existe $p$ et $q$ tous les 2 strictement supérieurs à 1, tels que $n=p \times q$
J'ai fait quasiment la moitié de la démo, à toi de finir.

Tyoussef · May 2023

@ kioups

Ah, oui la contraposée...

Tyoussef · May 2023

@ Rescassol
Merci Rescassol

gebrane · May 2023

En base 2; $Q_n =2^n -1$ c'est un nombre de Mersenne et on sait que si ce nombre est premier alors n est premier

JLapin · May 2023

Et en base quelconque @gebrane ?

gebrane · May 2023

Jlapin
Ah puisque tu ne le sais pas je t'explique. Un répété de 1, n fois, en base $a\geq 2$ s'écrit $1+a+a^2+\dots+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}$

On dit merci ?

J'ai oublié, vois-tu que l'explication que j'ai donnée dans le précédent message est louche ?

JLapin · May 2023

Non, je ne vois pas.

gebrane · May 2023

Change tes lunettes

Bonne nuit, je suis à moitié endormi.

JLapin · May 2023

Comprends pas, tant pis.
Manifestement, un intervenant de ce fil m'écrase avec un ton moqueur. Donc je m'en vais.

Tyoussef · May 2023

Bonjour tout le monde.

Après avoir lu un peu sur les rep-unit , c'est une suite géométrique : $$ \underbrace{11111...11}_{n fois } = \sum_{k=0}^n 1O^k ,$$ et il n'y pas de carré parfait à partir de 111.

lourrran · May 2023

Mais ça ne fait pas avancer ta question.
Si n=21 par exemple, sais tu trouver 2 diviseurs de 111 111 111 111 111 111 111 ?

Soc · May 2023

Ils ont été donnés par gerard0 et guego

NicoLeProf · May 2023

lourrran a dit :
Si n=21 par exemple, sais tu trouver 2 diviseurs de 111 111 111 111 111 111 111 ?

$1$ et $111$ $111$ $111$ $111$ $111$ $111$ $111$ .

Ce fut un plaisir !

*Fin du mode troll*

Tyoussef · May 2023

@ Soc
Oui, je sais mais avec des $99999\dots 9$ au dénominateur. La suite géométrique donne les $11111\dots 11$, pour c'est une autre idée de plus.

Soc · May 2023

Tu factorises par 9!

Tyoussef · May 2023

Bonjour @ gebrane
J’espère que vous êtes de bonne humeur comme hier ; et que le crayon a été téléporté par les ovnis vert

, en plein écriture.
Les nombres Mersenne ; oui je les connais, surtout leur chemin retour avec les nombres premiers, mais je n'arrive pas notre suite de $1111\dots11$, sauf erreur de ma part.

Soc · May 2023

Un indice, factorises 37037.

lourrran · May 2023

Dernier indice : 111 milliards 111 millions 111 mille 111 unités, c'est 111 fois (1 milliard +1 million + mille + 1 unité)

gebrane · May 2023

T youssef, je ne comprends pas très bien ta question

Pour répondre à Jlapin, je suis un poids plume, donc je ne peux écraser personne. Mon explication était louche et tu sais pourquoi. D'abord l’écriture de l'entier $111\dots 11$ est une écriture en base 10, donc $111\dots 11=(111\dots 11)_{10}$. J'ai dit que $(11\dots 11)_2=2^n - 1$ et que $2^n - 1$ est un nombre de Mersenne. Donc, si $n$ est composé, alors $2^n - 1$ est composé et $(111\dots 11)_2$ est composé. Ce qui est louche, c'est de conclure que $(111\dots 11)_{10}$ est composé.

Ce qui est encore plus louche : pourquoi gebrane fait appel aux nombres de Mersenne puisque la preuve pour démontrer que si $n$ est composée alors le nombre $2^n - 1$ est composé, est la même (presque) que pour démontrer que si $n$ est composé alors $111\dots 11=(111\dots 11)_{10}=\frac{10^n-1}9$ est composé.

JLapin · May 2023

Non, rien de louche dans ton premier message, juste un détournement de l'énoncé initial qui d'ailleurs ne précise pas si on travaille en base 10 ou autre.

gebrane · May 2023

Lorsque on écrit un entier sans préciser la base, c'est que la base est 10. C'est pourquoi je trouve l'explication de mon premier message est louche.

JLapin · May 2023

ok

gebrane · May 2023

Je tiens à m'excuser pour la plaisanterie

gebrane a dit :

Jlapin Ah puisque tu ne le sais pas je t'explique.

Car je sais. que tu savais répondre à ta question, donc j'ai pris ta question comme une plaisanterie.

JLapin · May 2023

Pas de problème ! Ma question avait plutôt pour but de généraliser un peu l'énoncé en faisant travailler qui le souhaitait dans une base quelconque.

gebrane · May 2023

Ok , je vois.

On peut remplacer $1$ par un autre chiffre $p\in{2,3,\dots ,9}$ et se poser la même question. Quels sont les nombres $r_n^p=ppp\dots ppp$ avec $p$ répété $n$ fois qui conservent la propriété : si $n$ est composé, alors $r_n^p$ est composé. C'est une question pour T-youssef

Tyoussef · May 2023

@gebrane

Bonsoir gebrane , ah non je ne suis pas fort en maths moi, d’ailleurs j'ai toujours des problèmes.

Excuse mon modeste savoir faire.

Dites vous voulez généraliser le résultat.

Voilà ce que j'ai compris.

Lorsque j'ai $ 7777777$, et $7$ est premier alors $7777777$ est premier, ou même l'inverse car la suite $1111\dots 11$ est dans l’ensemble des diviseurs dés que on dépasse le chiffre 2 , les $22222\dots 22,\ 333333\dots 33, \dots ,\ 999999\dots 99$, il n'y a pas de chance de trouver un nombre premier parmi eux.

En tout cas voilà ce que j'ai compris, sauf erreur de ma part.

lourrran · May 2023

La question de gebrane est plus compliquée que la question originale.
Je pense que si tu ne sais toujours pas faire la question originale, ce n'est pas très raisonnable de s'attaquer à la version 'compliquée'.

gebrane · May 2023

Oui tu as compris; avec ma notation $r_n^p $ pour $1 <p<10$ est composé car $r_n^p =pr_n^1$.

gerard0 · May 2023

Bonjour
7777777=7*1111111 n'est pas premier.
1111111=239*4649 non plus, d'ailleurs.
mais 1111111111111111111 est premier et a 19 (nombre premier) 1.
Cordialement

gebrane · May 2023

On a dit tous sont composés.
Tyoussef est-ce que tu as bien compris la solution de guego pour la question initiale. Sinon je t'aide pour comprendre.

Tyoussef · May 2023

@ gebrane

Vous allez éclater de rire, je suis en train de lire un livre de $Ellina \; Grigorieva$, $Methods \; of \; Solving \; Number \;Theory
Problems$ , chapitre 1, page 2. Vous voyiez avec ce niveau je comprends tout moi.

Soc · May 2023

Ben non, Tyoussef a raison, si $p>1$ alors tous les $rnp$ sont composés.

Sinon pour revenir à la question de départ et donner une écriture plus simple de la réponse de gerard0 :

si $n=pq$ alors $$ Q_n = \underbrace{111\dots11}_{ p \text{ fois} } \times \underbrace{1\, 001 \dots 001\, 001}_{ q \ \text{chiffres 1 tous séparés par }p-1\text{ zéros} }$$

À noter ici que $p$ et $q$ jouent des rôles symétriques on a donc 2 décompositions possibles pour cette méthode.

gebrane · May 2023

Ok, T-youssef, félicitation.

Bonsoir Soc
Pour n=12=4x3je trouve plutôt $r_{12}=r_4\times 100010001$

Soc · May 2023

Tu as raison j'ai mal écrit le scmilblick, je tente de rectifier ça. Comment met-on des espaces dans le texte en latex?

Tyoussef · May 2023

@ gebrane

Ah, non cela fait un très grand plaisir gebrane , moi cela fait, juste deux mois, je suis en train de lire pour la magnifique arithmétique, il y a MathsCross qui m'a sauver dans une autre question et vous aussi plusieurs fois, depuis 2014.

Tyoussef · May 2023

Ah, tien voilà, les nombres comme ça , gebrane :
de cette forme : $$ 1000000\cdots 0000100000\cdots 00001$$

ils ont un nom, je ne me rappelle plus, les nombres du diable ou bien ... evil numbers, un truc comme ça.

gebrane · May 2023

Soc

Ta formule est encore douteuse Pour $n=6=3\times2$, je trouve $r_6=r_3\times 1001$

Tyoussef · May 2023

@ gerard0
Belle remarque, oui je viens de tester avec la fonction isprime, (maple; Xcas, matlab ... (je travaille avec Xcas, car j'ai Linux Ubuntu )) n=19 et c'est juste

11111111111111111111111 est aussi premier, ici n= 23.