Le conjugué de $t_{\sigma}$ par $\sigma$ est : $t_{\sigma} = \sigma t_{ \sigma} \sigma^{-1}$. La conjugaison par $\sigma$ est un automorphisme de groupes donc un morphisme bijectif de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathfrak{S}_n$. Je ne vois pas le lien entre sous-groupe engendré et automorphisme.
@Oshine: C'est quoi l'image par un isomorphisme de $\mathfrak{S}_n$ d'une transposition, d'un cycle ?
PS. Si un ensemble d'éléments d'un groupe $G$ engendrent ce groupe, l'image de ces éléments par un isomorphisme de $G$ est encore un système générateur de $G$.
@Fin de partie Je veux bien te croire. Une tentative de preuve. Soit $G$ un sous-groupe du groupe symétrique d'ordre $n$ et $a,b \in G$. Supposons $G= \langle a, b \rangle$. Soit $f : G \longrightarrow G$ un automorphisme de groupes. $f$ est une surjection donc : $f(G)=G$. On a $\langle a,b \rangle = \{ \prod_{i=1}^n x_1 ^{\varepsilon_1} \dots x_n ^{\varepsilon_n} \mid n \in \N \ , \ x_1, \dots, x_n \in \{a,b\} \ , \varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n \in \{-1,1\} \}$ Comme $f$ est un morphisme : $f( \langle a,b \rangle ) = \{ \prod_{i=1}^n f( x_1) ^{\varepsilon_1} \dots f(x_n )^{\varepsilon_n} \mid n \in \N \ , \ x_1, \cdots, x_n \in \{a,b\} \ , \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n \in \{-1,1\} \}$
Si $f$ est une bijection de $E$ on a,si $A,B$ sont des sous-ensembles de $E$, sauf erreur $A\subset B$ est équivalent à $f(A)\subset f(B)$
Supposons $A \subset B$. L'inclusion $f(A) \subset f( B )$ est triviale. Réciproquement si $f(A) \subset f( B )$ alors $f^{-1} f( A) \subset f^{-1} f( B )$ donc $A \subset B$. Mais je n'ai pas utilisé cette propriété...
Bien sûr, tu viens de montrer que l'image par un morphisme surjectif d'un système générateur est un système générateur de l'image. Ce qui est vrai, et devrait se trouver quelque part dans ton cours.
Puisses-tu t'en souvenir dans l'avenir ?
Ou tout au moins te souvenir des points clefs de cette démonstration pour, dès que tu en auras besoin plus tard dans une démonstration, t'en souvenir, quitte à ce moment là, à te repasser mentalement la séquence qui amène à ce résultat et ainsi être certain de pouvoir utiliser cette propriété. Alain
Soit $S$ une partie génératrice de $G$ et $f:G\to G$ un automorphisme. Soit $H=\langle f(S)\rangle$. Alors $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $G$ contenant $S$ donc $f^{-1}(H)=G$, d'où $H=G$.
De façon plus générale il serait peut-être bien de se rappeler (et de savoir montrer) que si $G, H$ sont des groupes, $S\subset G$ et $f:G\to H$ est un morphisme, alors $\langle f(S)\rangle = f(\langle S\rangle)$.
@JLT Tu trouves toujours des idées de génie. On a $G= \langle S \rangle$ et $f : G \longrightarrow G$ un automorphisme. Montrons que $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $G$ contenant $S$. $f^{-1}(H)=\{ x \in G \ | \ f(x) \in H \}$
Si $x \in S$ alors $f(x) \in f(S) \in H$ donc $\boxed{S \subset f^{-1} (H)}$.
$f^{-1} (H)$ est non vide car $f(1)=1 \in H$.
Soit $x,y \in f^{-1} (H)$. Alors $f(xy)=f(x) f(y) \in H$ car $H$ est un groupe donc $xy \in f^{-1} (H)$.
On a donc $G \subset f^{-1} (H) \subset G$. Donc : $\boxed{G=f^{-1} (H)}$.
Tant que tu n'auras pas compris qu'un isomorphisme transfère la structure et toutes ses propriétés (et qu'en cas de doute, on prend son papier et un crayon), le catalogue de résultat que tu recherches sera perpétuellement incomplet et décevant...
Une petite recherche internet : - iso empruntée du grec et qui signifie Égal. - morphisme Du grec ancien μορφή, morphè (« forme ») avec le suffixe -isme.
Réponses
La conjugaison par $\sigma$ est un automorphisme de groupes donc un morphisme bijectif de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathfrak{S}_n$.
Je ne vois pas le lien entre sous-groupe engendré et automorphisme.
Si un ensemble d'éléments d'un groupe $G$ engendrent ce groupe, l'image de ces éléments par un isomorphisme de $G$ est encore un système générateur de $G$.
Je veux bien te croire. Une tentative de preuve.
Soit $G$ un sous-groupe du groupe symétrique d'ordre $n$ et $a,b \in G$.
Supposons $G= \langle a, b \rangle$. Soit $f : G \longrightarrow G$ un automorphisme de groupes.
$f$ est une surjection donc : $f(G)=G$. On a $\langle a,b \rangle = \{ \prod_{i=1}^n x_1 ^{\varepsilon_1} \dots x_n ^{\varepsilon_n} \mid n \in \N \ , \ x_1, \dots, x_n \in \{a,b\} \ , \varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n \in \{-1,1\} \}$
Comme $f$ est un morphisme : $f( \langle a,b \rangle ) = \{ \prod_{i=1}^n f( x_1) ^{\varepsilon_1} \dots f(x_n )^{\varepsilon_n} \mid n \in \N \ , \ x_1, \cdots, x_n \in \{a,b\} \ , \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n \in \{-1,1\} \}$
Réciproquement si $f(A) \subset f( B )$ alors $f^{-1} f( A) \subset f^{-1} f( B )$ donc $A \subset B$.
Mais je n'ai pas utilisé cette propriété...
Ce qui est vrai, et devrait se trouver quelque part dans ton cours.
Alain
Non ceci n'est pas dans le cours du livre.
@JLT
Tu trouves toujours des idées de génie.
On a $G= \langle S \rangle$ et $f : G \longrightarrow G$ un automorphisme.
Montrons que $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $G$ contenant $S$.
$f^{-1}(H)=\{ x \in G \ | \ f(x) \in H \}$
- Si $x \in S$ alors $f(x) \in f(S) \in H$ donc $\boxed{S \subset f^{-1} (H)}$.
- $f^{-1} (H)$ est non vide car $f(1)=1 \in H$.
- Soit $x,y \in f^{-1} (H)$. Alors $f(xy)=f(x) f(y) \in H$ car $H$ est un groupe donc $xy \in f^{-1} (H)$.
On a donc $G \subset f^{-1} (H) \subset G$. Donc : $\boxed{G=f^{-1} (H)}$.Donc $f(G)= f ( f^{-1} (H))=H$.
Je ne l'ai pas déjà démontré ?
Je trouve ça dommage de ne pas mettre ce résultat important dans les cours de prépa sur les groupes.
- iso empruntée du grec et qui signifie Égal.
- morphisme Du grec ancien μορφή, morphè (« forme ») avec le suffixe -isme.
En effet.
D'accord merci.