Cercles sécants inverses l'un de l'autre : deux angles égaux

Swingmustard
Swingmustard
Modifié (May 2023) dans Géométrie
Bonjour,
Soit $O$ un des points d'intersection des cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ de diamètres $AB$ et $CD$.
L'égalité d'angles $\widehat {AOC}=\widehat{BOD}$ me taquine : j'ai cru la démontrer par l'inversion $\sigma$ qui échange $\Gamma$ et $\Gamma'$.
(Pour ceux qui, comme moi, ont longtemps ignoré l'existence de l'inversion, on pourrait l'appeler "symétrie par rapport au cercle rouge".
Lebossé-Hémery nous apprend page 244 que dans le cas présent, où $I\notin\Gamma\cup\Gamma'$ et est extérieur, le pôle (ou centre) $I$ de l'inversion est tout simplement le centre d'homothétie positive.)
$$\sigma(A)=D, \sigma(O)=O, \sigma(C)=B$$
"donc égalité souhaitée des angles en question" ?
J'ai biché tout hier d'avoir cru ceci. Mais aujourd'hui revient le doute : les côtés $[OA]$ et $[OC]$ de $\widehat {AOC}$, loin d'être transformés en ceux du deuxième angle, le sont en les arcs de cercles verts. Si j'invoque la conservation des angles par inversion, j'obtiens que $\widehat {AOC}$ égale l'angle des tangentes à la surface verte.
C'est sympathique aussi, mais... Ça fiche en l'air ma démonstration, non ?
Je veux dire que j'ai le sentiment d'échouer à démontrer $$\widehat {AOC}=\widehat{BOD}$$ Amicalement,
Swingmustard

Réponses

  • Swingmustard
    Swingmustard
    Modifié (May 2023)
    Tant qu'à parler de symétrie, la vraie réflexion qui envoie $\widehat {AOC}$ sur $\widehat{BOD}$ a peut-être un rapport avec l'inversion $\sigma$.
    En effet, son axe $OE$ passe par une intersection $E$ du cercle (rouge) d'inversion avec la droite des centres.

    Amicalement,
    Swingmustard
  • cailloux
    cailloux
    Bonjour,
    Je ne vois pas ce vient faire l'inversion ici. Constater que $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont droits suffit.
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Modifié (May 2023)
    Aller chercher une autre inversion ?
    geogebra incite à conjecturer que si on appelle $F$ l'autre intersection du cercle d'inversion avec la droite des centres, alors l'inversion de pôle $F$ (cercle d'inversion en bleu) transforme $OA$ et $OC$ en deux arcs dont les tangentes sont exactement $OD$ et $OB$.
    Bon, ça reste à prouver, mais ça terminerait le travail de manière chic : l'inversion conserve les angles, tadam.

    Amicalement,
    Swingmustard
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Aïe aïe aïe, qu'ils soient égaux suffit même, et on leur soustrait $\widehat{BOC}$.
    Merci cailloux.
    Tant que tu y es, peux-tu m'aider à comprendre pourquoi ces angles égaux mesurent la moitié de l'angle entre les cercles, alias l'angle entre les rayons qui se coupent en $O$ ?
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappus
    pappus
    Bonsoir à tous
    Pourquoi n'être pas plus précis et ne pas utiliser les angles orientés?
    Amicalement
    pappus
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Bonsoir pappus,
    Merci pour cette indication. Appelons $P$ et $Q$ les centres de $\Gamma$ et $\Gamma'$.
    $2(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AO})\equiv2(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})\equiv(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PO})$ mod $2\pi$.
    $2(\overrightarrow{CO},\overrightarrow{CA})\equiv2(\pi-(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CO}))\equiv-(\overrightarrow{QD},\overrightarrow{QO})\equiv(\overrightarrow{QO},\overrightarrow{QD})$ mod $2\pi$.
    Addition des deux lignes.
    $2(\pi-(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}))\equiv(\overrightarrow{QO},\overrightarrow{PO})$ mod $2\pi$.
    $-2(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP})$ mod $2\pi$.
    $$2(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\equiv(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}) \textrm{ mod }2\pi$$
    Est-ce ce à quoi tu penses ?
    Maintenant, j'ai quand même envie de revenir à l'inversion de pôle $F$ (cercle bleu d'inversion).
    Quelqu'un voit-il pourquoi elle produit l'angle de tangentes adéquat ?
    Amicalement,
    Swingmustard
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Bonjour,
    J'essaie de mieux formuler.
    Soit $O$ un des points d'intersection des cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ de diamètres $AB$ et $CD$, portés par la même droite.
    1) Le point $K$
    On cherche le centre d'une inversion $\tau$ qui transforme le segment $OAa$ en l'arc $OA'a$ et le segment $OCc$ en l'arc $OC'c$ tels que les tangentes à ces arcs soient respectivement $OD$ et $OB$.
    On travaille dans un cas "simple", où aucune des droites $OA$ et $OC$ ne passe par le centre $K$ cherché. Alors leurs images-cercles passent par ce centre, d'où sa construction.
    2) Le point $F$
    Intersection de la droite des centres de $\Gamma$ et $\Gamma'$, avec le cercle rouge de l'inversion $\sigma$ des deux cercles, de centre $I$.

    3) Manifestement, $K=F$, mais je ne comprends pas pourquoi.
    $O$ est point de base pour deux faisceaux de cercles.
    Concernant le faisceau oblique, les alignements $O, a', c$ et $O, c', a$ ne sont pas une surprise : $OD$ est tangente au cercle $OA'a$ (par définition de $\tau$), donc perpendiculaire au rayon $Oa'$. Or, comme @cailloux l'a rappelé, $OD$ est aussi perpendiculaire à $OC$. 
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappus
    pappus
    Modifié (May 2023)
    Mon cher Swingmustard
    Tu as une transformation différentiable $f$ d'un ouvert $U$ du plan sur un ouvert $V$ du plan, (pas forcément affine !).
    Qu'entend-on par : $f$ conserve les angles orientés en un point $m\in U$ ?
    Peux-tu me donner des exemples non affines de telles transformations ?
    Amicalement.
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Bonsoir pappus,
    N'entend-on pas par $f$ conserve les angles orientés en un point $m\in U$ que si deux courbes forment un angle orienté $\alpha$ (égal par définition à celui de leurs demi-tangentes), alors leurs images par $f$ aussi ?
    Je sais que j'ai un peu abusé de l'expression. J'imagine qu'une inversion positive (celle qui m'intéresse) transforme un angle orienté en son opposé, tandis qu'une inversion négative le conserve vraiment.
    Crois-tu pouvoir me sortir du mauvais pas décrit plus haut ?
    Je pense que je maîtrise trop mal le lien entre les inversions $\tau$ et $\sigma$.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappus
    pappus
    Modifié (May 2023)
    Bonsoir Swingmustard
    1° Tu ne m'as pas dit pourquoi une inversion conservait ou non les angles orientés!!
    2° Pourquoi imagines-tu qu'une inversion a telle ou telle propriété en donnant l'impression que tu n'es pas sûr de ce que tu affirmes?
    Et effectivement tu as raison de ne pas être sûr de toi. Tu as imaginé une belle ânerie!
    Je partage l'avis de Cailloux.
    Ton exercice n'a rien à voir avec l'inversion!
    Ton problème n'est pas avec cet exercice mais bien avec les inversions et d'une façon plus générale avec la définition de la manière dont une transformation différentiable opère sur les angles.
    Soit donc $f$ une transformation différentiable du plan telle que $m'=f(m)$
    Soit $\alpha=(u,v)$ l'angle orienté de deux vecteurs.
    Comment $f$ opère sur l'angle $\alpha=(u,v)$ au point $m$ pour le transformer en un angle $\alpha'=(u',v')$?
    Autrement dit quelles sont les définitions des vecteurs $u'$ et $v'$?
    Amicalement
    pappus

  • Swingmustard
    Swingmustard

    "Tu as imaginé une belle ânerie!"

    Élève pappus. Amabilité : peut encore progresser.

    "Ton exercice n'a rien à voir avec l'inversion!"

    Élève Swingmustard. Choix du titre : pas si mal.

    En effet, si l'on veut bien s'intéresser à $\widehat {AOC}$ et $\widehat{BOD}$ du point de vue des (deux) inversions, $\sigma$ qui inverse les deux cercles s'avère bien utile pour définir $\tau$ qui, avec son centre et son cercle bleus, fait le job. La démonstration n'est pas encore là : dommage, mais ça viendra et en attendant on a un dessin limpide.

    Je ne sais rien répondre sur les "transformations différentiables". Amuse-toi donc bien tout seul.

    Amicalement,

    Swingmustard

  • pappus
    pappus
    Modifié (May 2023)
    Mon cher Swingmustard
    Excuse moi de t'avoir froissé! Tel n'était pas mon propos!
    Je voulais seulement t'aider.
    Tu dis:
    J'imagine qu'une inversion positive (celle qui m'intéresse) transforme un angle orienté en son opposé, tandis qu'une inversion négative le conserve vraiment.
    En affirmant cela, tu prouves seulement que tu n'as pas la moindre idée de la raison pour laquelle une inversion qu'elle soit positive ou négative change toujours un angle orienté en son opposé.
    Alors comment veux-tu résoudre ton exercice avec l'aide des inversions?
    Je te donne quelques réponses aux questions que je t'ai posées!
    $u'=Df_m(u)$, $v'=Df_m(v)$ où $Df_m$ est l'application dérivée de $f$ en $m$.
    $f$ conservera les angles non orientés au point $m$ si et seulement si $Df_m$ est une similitude
    Il conservera les angles orientés au point $m$ si et seulement si $Df_m$ est une similitude directe.
    Il changera un angle orienté en son opposé si et seulement si $Df_m$ est une similitude indirecte.
    Théorème
    Si $s$ est une inversion, $Ds_m$ est une similitude indirecte pour tout point $m$.

    Exercice de style que j'ai déjà donné ici dans la plus grande indifférence, il y a quelques années:

    Soit $f$ une transformation projective du plan euclidien différente d'une application affine.
    Déterminer les points $m$ du plan tels que $Df_m$ soit une similitude.
    Réponse:
    il y en a deux, le premier pour lequel $Df_m$ est une similitude directe et le second pour lequel $Df_m$ est une similitude indirecte.
    Ces deux points sont appelés points focaux de $f$.
    Objectif à long terme
    Une transformation projective $f$ du plan euclidien différente d'une application affine est entièrement déterminée par la connaissance de ses points focaux et de leurs images, (donc quatre points en tout et pour tout!).
    Donner alors la construction du point $M'=f(M)$.
    Amicalement
    pappus
  • pappus
    pappus
    Modifié (May 2023)
    Bonjour à tous
    On vient de voir que faire opérer une inversion sur les angles demande de savoir calculer une application dérivée, ce qui est peut-être trop demander en ces périodes obscures.
    Par contre je pense que faire opérer une inversion sur des birapports serait plus facile si ceux-ci ne s'étaient pas faits la malle eux aussi!
    Mais faisons comme s'ils avaient encore droit de cité!
    Nostalgie !
    Soit $s$ l'inversion (bleue) de Swingmustard.
    Au niveau des birapports, on a : $$(A,C,O,I)=\overline{(D,B,O,\infty)}$$
    L'argument du membre de gauche est : $$(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA})-(\overrightarrow{IC},\overrightarrow{IA})=(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA})$$
    L'argument du membre de droite est : $$-(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD})=(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB})$$
    Et finalement : $$(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA})=(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB})$$
    C'est trop rapide pour être honnête et trop beau pour être vrai !
    Amicalement
    pappus
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Modifié (May 2023)
    Bonsoir pappus,
    Il faudrait vraiment plus de loisirs pour profiter de tout ce que tu sembles avoir déjà raconté en 2009 et 2015 au sujet des points-focaux.
    Si tu peux, n'interprète pas (même si tu adores le faire) le temps d'assimilation nécessaire à tes lecteurs comme du désintérêt.
    Amicalement,
    Swingmustard.
  • pappus
    pappus
    Merci Swingmustard de nous rappeler tous ces vieux fils quand je suis incapable de me souvenir de ce que j'ai fait il y a cinq minutes!
    Quant à cette discussion proprement dite, j'espère t'avoir un peu aidé!
    Amicalement
    pappus
  • Swingmustard
    Swingmustard
    Modifié (June 2023)
    Puisque @pappus (bien sûr que tu m'as aidé) nous parle du birapport, j'en profite pour réviser, et réaliser une de mes erreurs.
    1) Pour le birapport de nombres complexes (et des affixes correspondants), on a l'équivalence entre
    "le birapport $k$ est réel" et "les points sont cocycliques ou alignés".
    Dans l'exemple ci-dessous, $A,B,C,D$ sont cocycliques sur le cercle $c1$, donc $k$ est réel.
    Mais $k$ vaut même $-1$, on dira que le quadrangle est harmonique.
    Géométriquement, on a l'équivalence (qui dispense de calcul, si on veut tester l'harmonicité d'un quadrangle EDIT inscrit dans un cercle) entre
    $k=-1$ et "le pôle de $AB$ wrt $c1$ est sur $CD$"
    ("Avec respect to" pldx1.)

    2) Je ne passais pas à côté d'une autre définition, celle du birapport le long d'une conique, mais j'avais tort de vaguement penser qu'il resterait le même ! Géométriquement, on voit bien que "le pôle de $AB$ wrt $c2$ n'est pas sur $CD$" (les tangentes en $A$ et $B$ voient leur intersection s'éloigner de $CD$ vers la droite), donc j'aurais dû me méfier.
    Comment se calcule cet autre birapport ? On projette d'un point $M$ de la conique sur n'importe quelle droite rouge, et on calcule sur elle.
    Astuce involontaire : avec la droite que j'ai choisie, $A$ est envoyé à l'infini (comme chez pappus l'inverse du pôle d'inversion). Il ne reste que ce qui se lit aussi en direct sur le dessin $$(A,B,C,D)=(\infty,B',C',D')=\dfrac{\overline{B'D'}}{\overline{B'C'}}=-\dfrac{3}{7}$$
    Amicalement,
    Swingmustard
    P.S.
    Bilan : $ABCD$ a pour birapports $-1$ vis-à-vis du cercle, et $-\dfrac37$ le long de l'ellipse.
    La droite et le cercle sont sûrement les seuls objets pour lesquels les deux définitions coïncident.
    [EDIT 1ère définition : birapport complexe. 2ème définition : birapport des projetés (par une projection de centre M) sur une droite.
    Impression actuelle : si A, B, C, D alignés, coïncidence des définitions, vu que c'est aussi le birapport du faisceau de droites issues de M.
    Si A, B, C, D non alignés, je ne trouve aucune relation entre les deux définitions EDIT]
    Je conjecture que pour les coniques autres, la définition avec les complexes donne un complexe non réel, tandis que la deuxième donne un réel, constant le long de la conique.
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