Jolis exercices sur la trace et matrice nilpotente

gebrane · May 2023

Nico, Je me demande si un lycéen peut résoudre cette question.

Cherchez les couples $(x, y)$ où $x$ et $y$ sont des réels solutions du système :
$xy + yx = 1$
$x^2y + yx^2 = x$
Bravo à celui qui trouve que $S = \{(x, y) \mid xy = \frac{1}{2}\}$

JLapin · May 2023

Je ne sais pas si les lycéens sont habitués à résoudre des équations avec autant de solutions...

gebrane · May 2023

Jlapin, disons les lyciens destinés pour les olympiades.

Rescassol · May 2023

Bonsoir,

N'exagérons pas, Gebrane, ce système se résout de tête en $2$ ou $3$ minutes.

Cordialement,
Rescassol

NicoLeProf · May 2023

Par un lycéen lambda non, ils ont déjà du mal à résoudre des équations classiques...

Cet exercice s'adresse à des lycéens ayant un très bon niveau ou préparant les olympiades effectivement.

gebrane · May 2023

Rescassol, peut-on interpréter ces équations par la géométrie pour conclure que l'ensemble des solutions est une hyperbole

Rescassol · May 2023

Bonsoir,

Quand même, il est évident que ce système est équivalent à:
$2xy=1$
$x(2xy-1)=0$
Par contre, je n'ai pas d'idée pour l'interpréter géométriquement.

Cordialement,
Rescassol

gebrane · May 2023

Je me suis fait avoir, alors

( Mon esprit considérait le problème dans un anneau non commutatif)

JLapin · May 2023

Rescassol a dit :

N'exagérons pas, Gebrane, ce système se résout de tête en $2$ ou $3$ minutes.

C'est long 2 ou 3 minutes pour ce système !

Sauf pour un lycéen qui ne sait pas qu'il existe des équations possédant plus qu'une ou deux solutions...

gebrane · May 2023

Rescassol, tu t'es fait avoir aussi

Rescassol a dit :
Par contre, je n'ai pas d'idée pour l'interpréter géométriquement.

Puisque le système n'est autre que

$2xy=1$

$x(2xy-1)=0$
qui est trivialement équivalent à 2xy=1. C'est une hyperbole

Rescassol · May 2023

Bonsoir
Oui, $2xy=1$ est l'équation d'une hyperbole, mais d'une part, je ne suis pas sûr que les hyperboles soient au programme de terminale, d'autre part, je n'appelle pas ça une interprétation géométrique du système.
Cordialement,
Rescassol

NicoLeProf · May 2023

gebrane a dit :

Je me suis fait avoir, alors ( Mon esprit considérait le problème dans un anneau non commutatif)

Figure-toi que moi aussi au début sans trop me pencher sur l'exo !

Oui c'est évident au final, même un lycéen lambda saura peut-être se dépatouiller, quoique...

JLapin · May 2023

La réponse attendue étant essentiellement "les (x,y) qui marchent" à une petite reformulation près, le lycéen lambda comme fort risque surtout de lever un sourcil devant cette question.

Jolis exercices sur la trace et matrice nilpotente

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