Ensemble de Cantor, partie négligeable
Bonjour
J'ai quelques nœuds dans mon "fil" sur la théorie de la mesure.
J'ai quelques nœuds dans mon "fil" sur la théorie de la mesure.
Dans mon cours on s'attarde sur l'ensemble de Cantor $K$ (sa construction, ses propriétés topologiques, sa mesure, Cantor maigre, Cantor gras, son cardinal, etc...). Sauf qu'après il est dit, je cite, "$K$ contient nécessairement des sous-ensembles non boréliens, même lorsque $\lambda(K) = 0$. En particulier, il existe des sous-ensembles d’ensemble de mesure nulle qui ne sont pas mesurables !" Je ne comprends pas comment on en déduit cela.
Enfin, il y a tellement d'information sur cet ensemble que j'ai du mal à savoir ce qu'il faut en retenir au niveau de la théorie de la mesure. Si je ne dis pas de bêtises cet ensemble est censé motiver la notion de complétion de mesure, non ? Bref, j'ai du mal à tirer l'importance de cet ensemble.
Enfin, dernière question, juste après cet exemple, on introduit la notion de partie négligeable puis de mesure complète, sauf qu'en explorant d'autres sources, il se trouve qu'il y a deux définitions de partie négligeable : si $(X,\mathcal A,\mu)$ désigne un espace mesuré et $A\subset X$ :
- l'une demande à ce que la partie soit mesurable $A$ et de mesure nulle alors que,
- la seconde demande à ce que $A$ soit incluse dans une partie mesurable de mesure nulle.
Ces définitions sont-elles équivalentes ? Y en a-t-il une plus manipulable/générale ?
Merci d'avance pour vos éclaircissement !
- l'une demande à ce que la partie soit mesurable $A$ et de mesure nulle alors que,
- la seconde demande à ce que $A$ soit incluse dans une partie mesurable de mesure nulle.
Ces définitions sont-elles équivalentes ? Y en a-t-il une plus manipulable/générale ?
Merci d'avance pour vos éclaircissement !
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Réponses
Pour ta dernière question, tu ne vois pas le lien avec ce qui précède ? En particulier la complétion de mesures ?
Donc suivant les situations, il y a équivalence ou pas.
Cordialement.
Il y a une petite coquille "si $\lambda< \omega_1$ est un ordinal limite alors" tu as écris $B_{\alpha}$ à la place de $B_{\lambda}$.
Barjovrille a précisé : "Quand ta mesure est complète". Ce qui fait que toute partie d'un mesurable de mesure nulle est mesurable, et de mesure nulle (c'est quasiment la définition de mesure complète). Ton cours n'est pas contredit.
Cordialement.