Déjà pour traiter la question il faut que $u$ soit continue. Peut-on dire que sur un sous-espace de $\mathcal{K}^n$ de dimension finie les fonctions linéaires sont continues ? Je dirai oui.
D'abord pour montrer l'existence de $\displaystyle{sup_{x \in E-0} \frac{||u(x)||}{||x||} }$ avec $x$ est non nul.
On écrit que $u$ continue $E$ en particulier en $0_E$. $\forall \epsilon > 0, \exists \alpha > 0, ||x||<\alpha \Rightarrow ||u(x)||<\epsilon$.
Maintenant je passe à un vecteur sur la boule unité $y=\frac{x}{||x||}$ tq $||y||=1$. Alors $||y||<1 \Rightarrow ||u(y)||<\epsilon$ et $||u(\frac{x}{||x||})||<\epsilon$. Ainsi $||u(x)||<\epsilon.||x||$. Alors $\frac{x}{||x||}<\epsilon$. Donc $\sup(\frac{x}{||x||})$ existe comme ensemble admettant un majorant. Le sup est le plus petit majorant de l'ensemble $\{ \frac{x}{||x||} , x \in E-0 \}$
Ensuite si $B$ est la boule unité et $S$ la sphère unité, $\frac{||u(x)||}{||x||}=|| u(\frac{x}{||x||})||$ donne $\displaystyle{sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) = sup_{||x||=1} (||u(x)||) = \sup_{x \in S} (||u(x)||)}$.
A3. On veut montrer qu'on a une norme d'algèbre Soit $u,v$ 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u.v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||uv(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||})$ C'est pénible car on n'a pas les vecteurs qui apparaissent comme dans une définition, $N(x.y)<N(x).N(y)$. Je pense que ici il faut utiliser $\displaystyle{sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) = \sup_{||x||=1} (||u(x)||) = \sup_{||x|| \leq 1} (||u(x)||) }$ La dernière égalité n'étant pas une question de l'énoncé mais j'ai pensé à cela ! Et du coup $\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||.||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})\sup_{x \in E-0} (\frac{||v(x)||}{||x||}) \leq |||u|||. |||v|||$ Ensuite par une récurrence immédiate $|||u^k||| \leq |||u|||^k$.
B4. C'est une conséquence du lemme des noyaux. Ça commence avec $a$ est trigonalisable dans $\mathbb{C}$ car son polynôme caractéristique est scindé dans un corps algébriquement clos... La suite un autre jour.
A3. Bien, alors on peut partir de : Soit $u,v$ 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u \circ v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||u \circ v(x)||}{||x||})$ ?
Si $u$ est linéaire et continue alors $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||u||.||x||$ en notant $||u||=\displaystyle{\sup_{x \in E-0} \frac{||u(x)||}{||x||} }$
posons $y=v(x)$. De $||u(y)|| \leq ||u||.||y||$ et $||v(x)|| \leq ||v||.||x||$, $||u \circ v(x)|| \leq ||u||. ||v||.||x||$. Or $||v(x)|| \leq k.||x||$ donne que $||v|| \leq k$ avec $k$ réel. Ainsi $||u \circ v || \leq ||u||. ||v||$.
C'est tout de même pas très net à lire. Comme par exemple, l'usage des doubles barres et triples barres. Il y a une distinction à faire ? Que fait-on des notations de l'énoncé ?
Pourquoi dire à chaque fois "si $u$ est linéaire et continue."
Les hypothèses sont $u,v\in L(E)$ et avec les notations et la définition de l'énoncé on a $ ||u (x) || \leq ||| u|||. ||x||, \ \forall x\in E.$
@bd2017 Tu as raison j'aurai du mettre des triples barres par endroit. La notation de la triple barre me déplaisait du coup j'ai utilisé les doubles barres de l'énoncé mais le mélange des 2 normes s'impose en effet.
Je reprends la question. Il y a 2 résultats majeurs pour résoudre la question.
i) Si $u$ est linéaire alors $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq
||u||.||x||$ en utilisant la norme triple $|||u|||=\displaystyle{\sup_{x \in E-0}
\frac{||u(x)||}{||x||} }$, j'ai immédiatement $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq |||u|||.||x||$
ii) Soit $k$ un réel. $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq k.||x||$ donne que $|||u||| \leq k$. (car la norme triple est le plus petit des majorants)
Maintenant, $\forall x \in E$, posons $y=v(x)$. De $||u(y)|| \leq |||u|||.||y||$ et $||v(x)|| \leq |||v|||.||x||$, $||u \circ v(x)|| \leq |||u|||. |||v|||.||x||$.
Ainsi $\boxed{ |||u \circ v ||| \leq |||u|||. |||v|||}$
A4. D'abord le polynôme caractéristique de $a$ s'écrit sous la forme $\mathcal{P}(X)=\displaystyle{\prod_{k=1}^{k=r} (X-\lambda_k)^{\alpha_k}}$ $\forall X \in \mathbb{C}$ avec $\lambda_k$ étant les valeurs propres distinctes de $a$ et $\alpha_k$ la multiplicité associée. On a $\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=r} \alpha_k=n }$. Le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{C}$. Ensuite on applique le lemme des noyaux : les polynômes $(X-\lambda_k)^{\alpha_k}$ sont premiers entre eux. On a donc puisque $\mathcal{P}(a)=0$ : $\mathbb{C}^n=\displaystyle{\bigoplus_{k=1}^{k=r} \ker((a-\lambda_k.Id)^{\alpha_k})}$. Si on note $E_i=\ker((a-\lambda_i.Id)^{\alpha_i})$, on l'appelle espace caractéristique de $a$. Ainsi $\boxed{\mathbb{C}^n=\displaystyle{\bigoplus_{k=1}^{k=r} E_k}}$.
B5. Partons de la définition de la norme triple $\forall u \in \mathcal{L}(E_i)$, $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}}= \displaystyle{\sup_{x \in E-0}
\frac{||q_i \circ u \circ p_i(x)||}{||x||} }$ [$||q_i \circ u \circ p_i(x)|| \leq |||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}}.||x||$] -> ne sert pas. Directement $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq |||q_i|||_i.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$. Donc $C_i= |||q_i|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$. Cela me semble trop simple ...
EDIT : cette question a été refaite, ce paragraphe est mauvais. Très mauvais.
La propriété $||| u v||| \leq |||u ||| . ||| v|||$ établie précédemment fait intervenir la même norme.
Par contre la propriété que tu utilises met en jeu deux normes différentes. la norme $||| . |||_C$ et la norme $||| . |||_i $ Donc tes inégalités ne sont pas justifiées.
Il faut remarquer que $p_i$ est le projecteur sur la ième coordonnées. Donc $\forall x\in \mathbb{C}^n, p_i(x)=x_i$. Alors $||p_i(x)||_{\mathcal{C}}\leq||x_i||_{\mathcal{C}}$. On a $|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$.
Le prochain enchaînement : $||u(x_i)||_i \leq |||u|||_i.||x_i||_i$.
Enfin le dernier enchaînement : $||q_i \circ u(x_i)||_{\mathcal{C}}$ ... Je réfléchis et je complète ... Je note $y=u \circ p_i(x)$, $||q_i(y)||_{\mathcal{C}}\leq |||q_i|||.||y||_{\mathcal{C}}$. Le problème ici est que j'ai deux normes différentes pour enchaîner. Une subtilité m'échappe. A moins que $||q_i(x)||_{\mathcal{C}}=||q_i(x)||_i$ ? Cela me semble faux. Je vais chercher. $q_i$ est la fonction identité donc $|||q_i|||_i=1$
Du coup $||q_i \circ u \circ p_i(x)||_{\mathcal{C}} = || u \circ p_i(x)||_i$. Je ne suis pas sûr. Je n"ai pas d'autres idées.
Je ne vois pas ce que ton message viens faire ici. J'ai donné la solution. Soit tu es d'accord ou pas.
Mais qu'est ce que tu fabriques ici? Sinon que d'écrire un peu le même que j'ai fait, avec quelques ressemblances, mais surtout des fautes d'écriture, car tu utilises des notations non définies dans l'énoncé.
Par exemple, pour un élément $u\in L(E_i ), ||| \, . \, |||_i$ a un sens (car défini dans l'énoncé) Mais pour un élément quelconque $x\in E_i \subset C ^n $
( la seule norme de l'énoncé est $|| x ||$ ) . Donc si tu écris $ || x || _i $ cela veut dire quoi?
C'est une nouvelle norme? En tout cas cela ne sert à rien.
De même pour un vecteur $|| \, . ||_C$ n'a pas été introduit! L'ajout de l'indice $C$ pourquoi? Non vraiment défini et surcharge inutile de notation.
@bd2017 Je regarde scrupuleusement le passage d'une norme à une autre pour bien comprendre. Je me pose aussi la question d'une relation possible entre les 2 normes $C$ et $i$. Je me rends compte que minorer $N_1(u(x)) \leq N_2(u).N_3(x)$ est possible. C'est sur cela que j'ai faux car dans mon cours; on ne fait pas de différence de normes : $N_1=N_2=N_3$. C'est pour cela que c'est confus pour moi. Je vais donc tout reprendre.
$\bullet$ Il
faut remarquer que $p_i$ est le projecteur sur la ième coordonnées.
Donc $\forall x\in \mathbb{C}^n, p_i(x)=x_i$. Alors
$||p_i(x)|| \leq||x_i||$. On a
$|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$.
$\bullet$ Le prochain enchaînement : $||u(x_i)|| \leq |||u|||_i.||x_i||$.
$\bullet$ Enfin
le dernier enchaînement : $||q_i \circ u(x_i)||$. Je note $y=u \circ p_i(x)$,
$||q_i(y)|| \leq |||q_i|||_{\mathcal{C}}.||y||$.
$q_i$ est la fonction identité donc $|||q_i|||_{\mathcal{C}}=1$
Au final : $||q_i \circ u \circ p_i(x)|| \leq |||q_i|||_{\mathcal{C}}.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}.||x||$ en ignorant que certaines normes triples égales à 1.
Donc $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq |||q_i|||_{\mathcal{C}}.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$
On a trouvé $\boxed{C_i=|||q_i|||_{\mathcal{C}}.|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1}$
Là j'ai l'impression que c'est nickel. Merci @bd2017. Je suis comme @OShine, je ne veux que du top en terme de rédaction.
Non seulement tu ne tiens pas compte de ce que je dis, mais ça tourne en charabia ou à un dialogue de sourd avec tes $N_1, N_2, N_3.$
J'ai le regret de te dire que le top c'est ce que j'avais écrit. Et tu fais bien du @Oshine : tu ajoutes de la longueur inutile avec en plus des fautes de notations. En particulier l'encadré n'a pas de sens.
Je me demande si tu n'est pas @Oshine ou son frère jumeau.
@bd2017 Je pense au final qu'on trouve la même chose. Ce qui était important ici est d'interpréter $p_i$ et $q_i$ en terme d'endomorphisme : projection et identité.
Non, pas du tout le même style d'écriture. Chez @OShine, ça commence souvent par : 'Je ne comprends pas ...' ou quelque chose de ce genre. Avec des copies de livre en rouge encadrées ce que je ne fais pas. Et je ne suis pas @OShine. Merci !
En fait il y a une forme d'intolérance avec les gens qui ont du mal à trouver réponse à une question.
$\bullet$ Il
faut remarquer que $p_i$ est le projecteur sur la ième coordonnées.
Donc $\forall x\in \mathbb{C}^n, p_i(x)=x_i$. Alors
$||p_i(x)|| \leq||x_i||$. On a
$|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$.
Déjà, en commençant à te lire, c'était
indigeste. En effet le début n'est pas faux mais le lien avec la conclusion
$|||p_i|||_{\mathcal{C}}=1$ n'est pas correct. Où est la relation de cause à effet ?
On ne peut pas se vanter d'avoir fait une rédaction au top alors que les mathématiques ne sont pas bonnes. Pour bien rédiger, il faut avant tout raisonner correctement.
6. Archi faux. Bon je me tire. Tu ne tiens pas compte des remarques.
Tu trouveras des personnes plus tolérantes, qui trouveront qu'écrire n'importe quoi c'est déjà pas mal.
Soit $x \in \mathbb{C}^n$, $q_j(x)$ ne semble pas défini si on ne prend pas comme vecteur de départ $x_j$.
Donc on considère l'image de $x_j$ : $q_j(x_j)=x_j$ puis $p_i(x_j)=x_i=0$. Erreur d'énoncé ? si on considère $p_j \circ q_j$ en fait on n'a rien fait.
Donc $\boxed{p_j \circ q_j=Id_{E_j}}$ et si $i \neq j$ alors $\boxed{p_i \circ q_j=0}$.
J'ai un gros doute. A quoi sert $q_i$ ? C'est une injection.
Ensuite pour $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i}$, on a : $\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i(x)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i(x_i)=\sum_{i=1}^{i=r} x_i}=x$. Donc $\boxed{\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i} = Id_{ \mathbb{C}^n} }$
Les définitions des endomorphismes sont : $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$ (à justifier) et $a_i= p_i \circ a \circ q_i$(ce qui est donné)
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ p_i \circ a \circ q_i \circ p_i}$ est à évaluer.
$||e^{ta}(x)|| \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} ||q_i \circ a_i \circ p_i || }||x|| }$ donne $|||e^{ta}|||_{\mathcal{C}} \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} |||q_i \circ a_i \circ p_i |||_{\mathcal{C}} }} \leq \displaystyle{e^{t.\sum_{i=1}^{i=r} |||a_i|||_i } }$ c'est une somme finie majorée d'où la convergence de cette série.
Il reste à montrer que : $\forall t \in \mathbb{R}$, $\forall i \in [[1,r]]$, $\displaystyle{e^{t. q_i \circ a_i \circ p_i } = q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i }$
Partons de $\displaystyle{a=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ a_i \circ p_i}$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$, alors
$\displaystyle{P(a)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ P(a_i) \circ p_i}$ grâce à la structure d'algèbre des polynômes.
Puis $\forall t \in \mathbb{R}$, $\displaystyle{P(t \times a)=\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ P(t \times a_i) \circ p_i}$
Puis $e^{ta}$ ayant une expression polynomiale, le tour est joué, en prenant par contre l'écriture générique de l'exponentielle de matrice que je mentionne au départ).
On a montré : $\boxed{e^{ta}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=r} q_i \circ e^{t.a_i} \circ p_i} }$
EDIT : J'ai déplacé le $x$ hors de l'exponentielle. @JLapin. En fait j'étais en train de taper, il faut que je relise encore...
@bd2017 a dit que la question $6$ est archi fausse. Je dirais que la rédaction n'est pas terrible, qu'elle peut être améliorée, que ça manque de rigueur: il est préférable de partir de $a(E_i)$ donc de considérer $y \in a(E_i)$ . Mais archi faux, c'est fort ou alors il y a une grosse erreur que je ne vois pas?
P.S : "mon gentil lapin" puis "Mon petit gourmand" -> j'adore !!!
Je comprends pourquoi dans les prépas les élèves ont trouvé les sujets difficiles. Quand je pense que @OShine m'a dit que le niveau baisse sur ce concours j'ai du mal à le croire.
@NicoLeProf Avec le raisonnement de l'OP, on pourrait montrer que $E_i$ est stable par n'importe quel endomorphisme $b$ car $b(0)=0$. Et merci à l'OP de me parler convenablement à partir de maintenant.
B6. @NicoLeProf En fait je vais essayer de faire ta méthode. Tu me diras si cela te plaît. Considérons $y \in a(E_i)$. Si $x \in E_i$, alors $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$ alors on écrit $y=a(x)$. Pour moi c'est à l'envers : tu veux $x \in E_i$ alors $a(x) \in E_i$. Là tu pars de la conclusion. Une autre idée que j'ai est que $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ et $a$ commutent. Alors $E_i=Ker(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ est stable par $a$. En effet si 2 endomorphismes commutent le noyau de l'un est stable par l'autre endomorphisme.
Ça tue non ?
Mais néanmoins je ne comprends pas ta méthode. La difficulté pour moi est d'être délaissé par @OShine, je fais face seul face à cette horde de forumeurs mathématiciens en herbe.
Je ne sais pas... il n'y a que moi qui pense que MangeurAnnales est un membre du forum qui s'amuse à imiter OShine ?
Une meilleure version j'espère. En fait il a craqué au bout de 3 questions sur le sujet 2. Dommage car je veux publier avec lui les corrigés en Latex. J'espère avoir l'air meilleur !
$a \circ (a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=a(0)=0$. Donc $a(E_i) \in E_i$.
Ah ce que je pensais être ici un "simple raccourci" de rédaction est en fait une erreur de logique, qu'en penses-tu @JLapin? En fait, comme tu l'écris ci-dessus, telle que la preuve est formulée, on pourrait croire en effet que $E_i$ est stable par un endomorphisme $b$ quelconque, il manque a minima une mention spéciale sur $a$ et $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$.
Non, pas du tout le même style d'écriture. Chez @OShine, ça commence souvent par : 'Je ne comprends pas ...' ou quelque chose de ce genre. Avec des copies de livre en rouge encadrées ce que je ne fais pas
Pour quelqu'un qui est inscrit depuis même pas une semaine sur le forum, tu as l'air 'achement bien au courant de comment OShine écrit ici.
Son style ressemble à celui du violoniste. Peux-tu stp refaire la 6 avec soin ?.
J'ai proposé une autre méthode plus haut avec les endomorphismes commutants.
Concernant @LeVioloniste (il) est plutôt intéressé par les probas/stats de ce que je lis, et c'est un agrégé donc il ne s'amuserait pas à faire ce genre de classique de prépas. Et il n'encadre pas ses réponses non plus. Et il a l'air plus virulent parfois. Moi je suis plus piss&love.
Réponses
On écrit la norme triple $|||u|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})$. Les 3 axiomes de la norme à vérifier :
$\bullet$ axiome de séparation : $|||u|||=0 \Rightarrow x=0$
Soit $x \in E-0$, alors $||u(x)||=0$ puis $u(x)=0$ donc $x=0$.
$\bullet$ axiome d'homogénéité :
Soit $\lambda>0$, $\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(\lambda.x)||}{||\lambda.x||})=\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})$.
$\bullet$ inégalité triangulaire :
Soit u,v 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u+v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||(u+v)(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}+\frac{||v(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) + \sup_{x \in E-0} (\frac{||v(x)||}{||x||}) = |||u|||+|||v|||$.
On veut montrer qu'on a une norme d'algèbre
Soit $u,v$ 2 endomorphismes de $\mathcal{L(K^n)}$, $|||u.v|||=\sup_{x \in E-0} (\frac{||uv(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||})$
C'est pénible car on n'a pas les vecteurs qui apparaissent comme dans une définition, $N(x.y)<N(x).N(y)$. Je pense que ici il faut utiliser $\displaystyle{sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||}) = \sup_{||x||=1} (||u(x)||) = \sup_{||x|| \leq 1} (||u(x)||) }$
La dernière égalité n'étant pas une question de l'énoncé mais j'ai pensé à cela !
Et du coup $\sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||.||v(x)||}{||x||.||x||}) \leq \sup_{x \in E-0} (\frac{||u(x)||}{||x||})\sup_{x \in E-0} (\frac{||v(x)||}{||x||}) \leq |||u|||. |||v|||$
Ensuite par une récurrence immédiate $|||u^k||| \leq |||u|||^k$.
C'est une conséquence du lemme des noyaux.
Ça commence avec $a$ est trigonalisable dans $\mathbb{C}$ car son polynôme caractéristique est scindé dans un corps algébriquement clos... La suite un autre jour.
D'abord le polynôme caractéristique de $a$ s'écrit sous la forme $\mathcal{P}(X)=\displaystyle{\prod_{k=1}^{k=r} (X-\lambda_k)^{\alpha_k}}$ $\forall X \in \mathbb{C}$ avec $\lambda_k$ étant les valeurs propres distinctes de $a$ et $\alpha_k$ la multiplicité associée. On a $\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=r} \alpha_k=n }$. Le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{C}$.
Ensuite on applique le lemme des noyaux : les polynômes $(X-\lambda_k)^{\alpha_k}$ sont premiers entre eux. On a donc puisque
$\mathcal{P}(a)=0$ : $\mathbb{C}^n=\displaystyle{\bigoplus_{k=1}^{k=r} \ker((a-\lambda_k.Id)^{\alpha_k})}$. Si on note $E_i=\ker((a-\lambda_i.Id)^{\alpha_i})$, on l'appelle espace caractéristique de $a$.
Ainsi $\boxed{\mathbb{C}^n=\displaystyle{\bigoplus_{k=1}^{k=r} E_k}}$.
Partons de la définition de la norme triple $\forall u \in \mathcal{L}(E_i)$, $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}}= \displaystyle{\sup_{x \in E-0} \frac{||q_i \circ u \circ p_i(x)||}{||x||} }$
[$||q_i \circ u \circ p_i(x)|| \leq |||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}}.||x||$] -> ne sert pas.
Directement $|||q_i \circ u \circ p_i|||_{\mathcal{C}} \leq |||q_i|||_i.|||u|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$.
Donc $C_i= |||q_i|||_i.|||p_i|||_{\mathcal{C}}$. Cela me semble trop simple ...
Avec le raisonnement de l'OP, on pourrait montrer que $E_i$ est stable par n'importe quel endomorphisme $b$ car $b(0)=0$.
Et merci à l'OP de me parler convenablement à partir de maintenant.
@NicoLeProf En fait je vais essayer de faire ta méthode. Tu me diras si cela te plaît.
Considérons $y \in a(E_i)$. Si $x \in E_i$, alors $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}(x)=0$ alors on écrit $y=a(x)$. Pour moi c'est à l'envers : tu veux
$x \in E_i$ alors $a(x) \in E_i$. Là tu pars de la conclusion.
Une autre idée que j'ai est que $(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ et $a$ commutent. Alors $E_i=Ker(a-\lambda_i.Id)^{m_i}$ est stable par $a$.
En effet si 2 endomorphismes commutent le noyau de l'un est stable par l'autre endomorphisme.
J'espère avoir l'air meilleur !