Extension triviale d'un anneau par un module (Matsumura)

Bonjour, je suis en pleine lecture du livre "Commutative Algebra" de Hideyuki Matsumura et je bloque sur l'une des affirmations du chapitre 10 sur les dérivations (à la page 186, après le paragraphe (25.B) pour ceux qui possèdent l'ouvrage). Pour situer le contexte, tous les anneaux sont commutatifs et unitaires. Je donne les définitions du livre et j'expose mon problème par la suite.

- Soit $C'$ un anneau et $N$ un $C'$-module. Une extension de $C'$ par $N$ est la donnée d'un triplet $(C, \epsilon, \iota)$ où $C$ est un anneau, $\epsilon : C \to C'$ un morphisme d'anneaux surjectif et $\iota : N \to C$ un morphisme de $C$-modules injectif tels que $\ker(\epsilon)$ est un idéal de $C$ de carré nul et la suite de morphismes de $C$-modules suivante est exacte : $$0 \rightarrow N \xrightarrow{\iota} C \xrightarrow{\epsilon} C' \rightarrow 0$$ On remarque alors que $\ker(\epsilon)$ possède une structure de $C'$-module et que $\iota$ fournit un isomorphisme de $C'$-modules $N \simeq \ker(\epsilon)$. Deux extensions $(C_1, \epsilon_1, \iota_1)$, $(C_2, \epsilon_2, \iota_2)$ sont dites isomorphes lorsqu'il existe un morphisme d'anneaux $f : C_1 \to C_2$ tel que $f \circ \iota_1 = \iota_2$ et $\epsilon_2 \circ f = \epsilon_1$ (un tel morphisme d'anneaux est nécessairement un isomorphisme).

$$\xymatrix{&&&C_1\ar[dd]^{f} \ar[rrd]^{\varepsilon_1} \\0\ar[r]&N \ar[rru]^{\iota_1} \ar[rrd]_{\iota_2}&&&&C'\ar[r]&0 \\&&&C_2\ar[rru]_{\varepsilon_2} }$$ On définit "l'extension triviale" par le triplet $(C' * N, p, i)$ où :

Une extension $(C, \epsilon, \iota)$ est dite scindée lorsqu'il existe un morphisme d'anneaux $s : C' \to C$ tel que $\epsilon \circ s = id_{C'}$.

- Voici mon problème. Matsumura écrit alors qu'une extension $(C, \epsilon, \iota)$ de $C'$ par $N$ est isomorphe à $C' * N$ si et seulement si elle est scindée. Le sens direct est simple, la réciproque me pose un peu plus de tracas. Je vais adopter l'écriture $(x,y) = x \oplus y$ pour un élément de $C' * N$ car je trouve mon texte peu lisible sans ceci. En admettant qu'une telle extension est scindée, on sait qu'il existe un isomorphisme de groupes abéliens : $$f : C \xrightarrow{\simeq} C' \bigoplus N, ~~~ f(c) = \epsilon(c) \oplus \iota^{-1}\big(c - (s \circ \epsilon)(c) \big)$$

On vérifie facilement qu'il "commute" avec les inclusions et les projections comme dans la définition d'isomorphisme d'extensions et que $f(1) = (1,0)$. Il reste à vérifier que $f$ est multiplicatif. Toutefois, si je prends $x,y \in C$, j'obtiens sauf erreur de ma part :$$f(x)f(y) =\epsilon(xy) \oplus \iota^{-1}\big( 2xy - x \cdot (s\circ\epsilon)(y) - y \cdot (s\circ\epsilon)(x) \big)$$ en utilisant que $\iota^{-1}$ est un morphisme de $C$-modules. Néanmoins, même en utilisant l'égalité $$2xy - x \cdot (s \circ \epsilon)(y) - y \cdot (s \circ \epsilon)(x) = xy + \big(x - s \circ \epsilon(x)\big) \big(y - s \circ \epsilon(y)\big) - (s \circ \epsilon)(xy)$$

il me reste toujours ce terme parasite $\big(x - (s \circ \epsilon)(x))(y - (s \circ \epsilon)(y)\big) \in \iota(N)$ qui m'empêche de tomber sur l'expression $$f(xy) = \epsilon(xy) \oplus \iota^{-1} \big( xy - (s \circ \epsilon)(x) \cdot (s \circ \epsilon)(y) \big)$$ J'ai cherché en ligne des solutions, des corrections de coquilles mais rien. Je suppose que mon raisonnement ci-dessus est faux mais je n'arrive pas à voir l'erreur. Un peu d'aide ne serait pas de refus. Je vous remercie.