Exponentielle de matrices

Bonjour à tous, je bloque sur un exercice dont l'énoncé est le suivant : 

Soit $A \in \mathscr{M}_n(\Bbb{C})$ et $ ||.|| $ une norme sur $\Bbb{C}^n$. Déterminer $$E_+ = \{x \in \Bbb{C}^n | \lim\limits_{t \to +\infty} e^{tA}x= 0\}$$
J'ai pour l'instant démontré que si $x$ était un vecteur propre de $A$ associé à une valeur propre de partie réelle négative alors $x \in E_+$.
En effet, soit $x$ un tel vecteur, on a : 
$$||e^{tA}x|| = \Big\|\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{t^nA^n}{n!} x \Big\| = \Big\|\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{t^n \lambda^n}{n!} x \Big\| = |e^{t \lambda} ||x|| ,$$ où $\lambda $ est une valeur propre de la matrice $A$ de partie réelle négative associée au vecteur propre $x$. Mais alors cette dernière quantité tend bien vers $0$ lorsque $ t \to \infty$, d'où $x \in E_+$.
Sont-ce les seuls vecteurs à vérifier cela ?