Groupe cyclique
Bonjour,
Je bloque sur trois points de l'exercice.
Je bloque sur trois points de l'exercice.
- Je ne comprends pas pourquoi $z=e^{2u \pi /n}$ ce n'est pas plutôt il existe $k \in [|0,n-1|]$ tel que $z=e^{2i k \pi /n}$ ?
- Je n'ai pas compris pourquoi on a le droit d'écire $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$, car $K$ est juste supposé un groupe fini de $G$.
- Je ne comprends pas où on a montré que les sous-groupes finis de $\C^{*}$ sont les $\mu_n$.
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Réponses
Soit $K$ un sous-groupe fini de $G$ et $n=\#K$.
Pour tout $z\in K$, on a $z^n=1$ d’après Lagrange.
Donc $K=\mu_n$.
De plus, pour tout diviseur $d$ de $n$, l’équation $z^d=1$ possède exactement $d$ solutions dans $K$ qui est donc cyclique.
-- Schnoebelen, Philippe
Bonne remarque. $\mu_0$ n'existe pas, il faudrait préciser $n \in \N^{*}$.
@JLT j'ai démontré qu'ils sont isomorphes, mais pour l'égalité je ne vois pas.
Exercice :
Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $(\C^*,\times)$. Alors il existe $n$ tel que $G=\mu_n$.
Ma solution :
Comme $G$ est un groupe cyclique, il est fini et monogène, il existe $g \in G$ tel que $G=\langle g \rangle =\{ 1,g,g^2, \cdots, g^{n-1} \}$.
Soit $n$ l'ordre de $g$ alors $n = \# G$ et $g^n=1$.
On définit l'application : $f : \mu_n=\langle z \rangle \longrightarrow G$ où $z$ est une racine primitive de l'unité et $\forall k \in [|0,n-1|] \ f(z^k)=g^k$.
Morphisme :
Si $k,l \in [|0,n-1|]$, on a $0 \leq k+l \leq 2n-2$. On effectue la division euclidienne de $k+l$ par $n$, ce qui donne $k+l=qn+r$ avec $0 \leq r \leq n-1$.
$f( z^k z^l)=f(z^{k+l})=f ( (z^n)^q z^r)=f(z^r)=g^r=g^{qn+r}=g^{k+l}=g^k g^l =f(z^k) f(z^l)$.
On a $\# G = \# \mu_n$, il suffit de montrer que l'application $f$ est injective.
Injection :
Supposons que $f(z^k)=f(z^l)$ avec $k,l \in [|0,n-1|]$. Donc $-(n-1) \leq k-l \leq n-1$
Alors $g^k=g^l$. Donc $g^{k-l}=1$. Donc $k-l$ divise $n$ et $k-l \equiv 0[n]$. On en déduit $k-l=0$ et $k=l$.
$f$ est un isomorphisme de groupes, donc $\boxed{G \approx \mu_n}$.
Pas compris la dernière ligne le rapport entre les diviseurs de $n$ et le fait que $K$ soit cyclique.
J'ai cherché depuis hier, je ne comprends pas comment on passe de "soit $K$ un groupe fini de $G$" à $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$.
Comment on sait que $K$ s'écrit sous la forme $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$ ?
Le seul théorème que je connais avec des diviseurs est le suivant, mais je ne vois pas le rapport avec ta démonstration.
Théorème :
Soit $C_n$ un groupe cyclique à $n$ éléments et soit $a$ un générateur de $C_n$.
Pour tout diviseur positif $d$ de $n$, il existe un unique sous-groupe $H_d$ de $C_n$ ayant $d$ éléments. Si $n=dd'$ alors $H_d = \langle a^{d'} \rangle$.
Le groupe $H_d$ est cyclique et ses générateurs sont les éléments de $C_n$ qui sont d'ordre $d$.
Tu sais pourquoi on a le droit d'écrire $K=\langle x_1, \cdots, x_k \rangle$ ?
Tout groupe fini $G=\{g_1, \cdots, g_n \}$ est engendré par lui même donc $G= \langle g_1, \cdots, g_n \rangle$.
Pour tout diviseur $d$ de $n$ l'équation $z^d=1$ admet $d$ solutions distinctes dans $K$ donc $K$ est cyclique.
Cette propriété me semble plus difficile à démontrer que tout l'exercice du livre.
Vous critiquez l'énoncé, mais il a le mérite d'être d'un niveau accessible. Je pense que l'auteur du livre a rédigé l'exercice de cette façon de sorte à n'utiliser que des connaissances élémentaires.
Alors un résultat classique dit que $G$ est du type $(\Z/2\Z)^n$
Ok merci.
Quant à toi, continue de défendre ton petit chouchou, qui a l'avantage de te faire te sentir forte, vu ses incapacités notoires. Continue à justifier son comportement absurde, tu ne fais que te ridiculiser à soutenir un comportement infantile.
Merci.
AD
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