Résultant et relation de Bézout explicite

Joaopa · May 2023

Bonjour à tous. Dans un article de Koksma et Popken (Zür Transzendenz of $e^\pi$) il y a le résultat suivant sans preuve.

Soit $A=\sum_{k=0}^ma_kX^k$ et $ B=\sum_{k=0}^gb_kX^k$ deux polynômes de $\mathbb C[X]$, alors il existe deux polynômes $P$ te $Q$ de degrés respectifs plus petit que $g-1$ et $m-1$ tels que $AP+BQ=\mathrm{Resultant}(P,Q)$. De plus, on peut prendre

$$P(x)=\left|\begin{array}{cccccccccccc}
1&a_1&a_2&\cdots&\cdots&\cdots&a_m&&&&&\\
x&a_0&a_1&\cdots&\cdots&\cdots&a_{m-1}&a_m&&&&\\
x^2&0&a_1&\cdots&\cdots&\cdots&a_{m-2}&a_{m-1}&a_m&&&\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
x^{g-1}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&a_m\\
0&b_1&b_2&\cdots&b_g&&&&&&&\\
0&0&b_1&\cdots&b_{g-1}&b_g&&&&&&\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
0&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&b_1&&&&&b_g
\end{array}\right|
$$ L'expression pour $Q$ est de même acabit. Quelqu'un connait-il une référence pour ça ? J'ai réussi à le montrer grâce aux formules de Cramer mais je souhaiterais une référence. Merci d'avance.

Chat-maths · May 2023

Bourbaki, Algèbre, chapitre IV, §6, n° 6, remarque 4) après la définition 1.
Edit: "Mon mauvais" comme diraient les anglais, tu veux effectivement en plus l'expression de P et Q.

Joaopa · May 2023

Merci mais dans la remarque je ne vois pas la chose qui m'intéresse c'est-à-dire la forme déterminantale de $P$

Chat-maths · May 2023

La remarque donne à mon avis un indice de preuve (vu la formule citée), à savoir que si $S$ est la matrice de Sylvester de tes polynômes, alors tu peux écrire $S \times {}^{t}\mathrm{Com(S)} = \mathrm{Res}(A,B)\mathrm{Id}$, en appliquant cette égalité matricielle à $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ et en se rappelant comment on identifie la matrice de Sylvester à la matrice de l'application $U, V \mapsto AU + BV$ dans une bonne base, on voit que la première colonne de la transposée de la comatrice de S permet de construire les polynômes $P$ et $Q$ que tu cherches, et ces coefficients sont tous des cofacteurs, qu'on peut identifier au développement par rapport à la première colonne des déterminants que tu cherches (bon, j'ai pas fait les détails, il y a les signes, le développement, etc... mais ça semble plutôt bien se goupiller).

Mais c'est la preuve que tu sembles de toute façon déjà avoir.

Pas sûr de connaître une référence qui donne la formule toute prête, mais si j'en trouve une, je la mettrai ici.

Foys · May 2023

Le résultant se calcule par opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes dans $M_{m+g+2}(\C[X])$. On part de $R:=$ la même matrice que le premier message du fil mais avec $1$ sur les premiers et $g+1$-ième coefficients de la première colonne à gauche et $0$ sur les autres (bref la matrice de résultant dans laquelle les polynômes apparaissent sur les lignes). Soient $C_0, C_2, \dots, C_{n+g+1}$ les colonnes de $R$. On transforme $R$ en remplaçant $C_0$ par $C_0 + XC_1+X^2C_2 + \dots+ X^{n+g+1} C_{m+g+1}$. La première colonne devient donc $(A(X), XA(X), \dots,X^g A(X), B(X), XB(X), \dots,X^m B(X))$. Le déterminant de la nouvelle matrice obtenue est identique à celui $R$ et son calcul en développant par rapport à la première colonne fournit l'égalité demandée.

Résultant et relation de Bézout explicite

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 29