Convergence en probabilité d'une suite de lois

Je ne vois pas de convergence ne proba mais peut être que je me trompe.

Sinon si je note $F_n$ la fonction de répartition de $X_n$ alors $\sup | F_n - F| < \frac{1}{n} $ qui converge uniformément donc. C'est aussi une convergence en loi.

Bonjour

Il me semble que

 $\forall n\in \N^*,\:\:\mathbb P(|X_n-X|)<a) =\dfrac 1n\displaystyle \sum_{k=1}^n \mathbb P\left (|X-\frac kn|<a\right) \leqslant 2a,$ de sorte qu'il n'y  a pas de convergence en probabilité de$(X_n)_n$ vers $X.$

NB.  On a bien: $\:\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\Big[\mathbb P(|X_n-X|)<a)\Big]=2a-a^2.$

Bonjour @girdav.
Ton message laisse entendre que Positif et moi avons écrit des bêtises.  Peux-tu les mettre en évidence ?

Je ne comprends pas le lien entre le "caractère  Cauchy en probabilité" (en fait je ne vois pas trop ce dont il s'agit) et la loi du couple $(X_n,X_{2n})$.
Je me suis contenté d'établir que : $\exists a>0,\ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\Big[\mathbb P(|X_n-X|)<a)\Big]\neq 1.$

@girdav

OK,merci. Il  y avait bien quelque chose de foireux dans mon propos

On pose $(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace de probabilité sur lequel vit $X$ une variable uniforme sur $[0,1]$. (Ie pour $0<a<b<1$ alors $\mathbb{P}(X\in ]a,b])=b-a$). Par exemple $(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})=([0,1],\mathcal{B}([0,1]), \lambda_{[0,1]})$ et $X : \Omega \to [0,1], \omega \mapsto \omega$.

Pour $n\geq 1$, on pose $X_n = \frac{\lceil nX\rceil}{n}$. Alors pour $1\leq k \leq n$, $\mathbb{P}(X_n = \frac{k}{n})=\mathbb{P}(nX \in ]k-1,k]) = \mathbb{P}(X\in ]\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}])= \frac{1}{n}$.

Ainsi $X_n$ a bien la loi d'une variable uniforme sur $\{1/n,2/n,\dots, n/n\}$.

De plus $X_n$ converge en probabilité vers $X$.

Preuve 1 : en revenant à la définition, soit $\varepsilon>0$, alors $\mathbb{P}(|X_n-X|\geq \varepsilon) = \mathbb{P}\left(\left|\frac{\lceil nX\rceil-nX}{n}\right|\geq \varepsilon\right) = \mathbb{P}(|\lceil nx\rceil - nX| \geq n \varepsilon)$

Maintenant cette dernière probabilité tend vers $0$ lorsque $n\to \infty$ car est toujours nulle dès que $n > 1/\varepsilon$, (en effet, on a toujours $ \left|\lceil nX\rceil-nX\right|\leq 1$).

Preuve 2 : en remarquant qu'en fait $X_n$ converge presque sûrement vers $X$ (ce qui implique la CV en proba). Pourquoi ? Car pour $\omega\in \Omega$, alors $X_n(\omega) = \lceil nX(\omega)\rceil/n \xrightarrow[n\to \infty]{}X(\omega)$. Et donc $\mathbb{P}(\{\omega \ | \ X_n(\omega)\to X(\omega)\})=1$.

Conclusion : Pour parler de la convergence de $X_n$ vers $X$ en proba, il faut être capable de pouvoir écrire $\mathbb{P}(|X_n-X|\geq \varepsilon)$. Cela suppose que $X_n$ et $X$ sont définies sur le même espace de probabilité (ce qui n'est pas forcément le cas pour la convergence en loi). De plus la loi jointe de $(X_n,X)$ est de mise pour répondre à la question de la convergence en proba (encore une fois ce n'est pas le cas pour la convergence en loi). Ci dessus j'ai proposé l'exemple d'un espace de probabilité où j'ai défini simultanément $X$ et aussi les $X_n$ (ainsi je connais bien leur loi jointe), et on a pu montrer la convergence en loi [edit : je voulais dire en proba évidemment].

Remarque. Il serait aussi possible de prendre un espace de probabilité où vivent $X,Y$ deux variables uniformes sur $[0,1]$ mais indépendantes. On pose $X_n$ de la même manière (définies par rapport à $X$). Alors $X_n$ convergera presque sûrement, en probabilité et en loi vers $X$. Mais $X_n$ ne convergera certainement pas vers $Y$ ni presque sûrement ni en probabilité. (Il y aura toutefois convergence en loi de $X_n$ vers $Y$ car la loi de $X$ est la même que celle de $Y$).