Ensemble de Cantor, partie négligeable

Réponses

• gerard0

  May 2023 Modifié (May 2023)

  Bonjour.
  Pour ta dernière question, tu ne vois pas le lien avec ce qui précède ? En particulier la complétion de mesures ? 
  Donc suivant les situations, il y a équivalence ou pas.
  Cordialement. 
• Heuristique

  May 2023

  Bonjour,

  L'ensemble triadique de Cantor a de nombreux intérêts, et je ne peux que t'inviter à bien maîtriser sa construction et être capable de retrouver ses propriétés (compact, a la puissance du continu, est de mesure nulle). Le meilleur moyen de connaître ces notions est encore de savoir les redémontrer. Une liste (non exhaustive) sur l'importance du Cantor :
  

  1) C'est un ensemble de mesure nulle qui contient des parties non mesurables. Notre première envie est de dire que ces parties sont de mesure nulle, d'où la notion de tribu complétée.

  2) C'est un fabuleux contre-exemple à beaucoup de théorèmes, et il est très important en maths de connaître des objets un peu pathologiques pour fabriquer des contre-exemples aux idées reçues. Une liste (toujours non exhaustive) : l'ensemble des rationnels, le Cantor, l'ensemble de Vitali, la dérivation dans $\mathbb{R}[X]$, la droite de Sorgenfrey...

  3) Le Cantor est très utilisé en informatique dans une autre version (je te laisse le soin de prouver qu'il s'agit bien du même objet). On considère l'ensemble $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ muni de la topologie produit. L'ensemble est compact par Tychonoff et cette compacité est très utilisée pour l'étude des mots infinis sur l'alphabet $\{0,1\}$. On peut notamment avoir une topologie sympathique sur l'ensemble des mots et faire des langages formels sous l'angle de la topologie.
  
• Barjovrille

  May 2023 Modifié (May 2023)

  Bonjour, pour ta première question, je ne sais pas ce qu'il y a dans ton cours.

  On va admettre que l'ensemble de Cantor $K$ a la puissance du continu, et les boréliens de $\mathbb{R}$ aussi. (Je ne sais pas comment on le démontre).

  Il y a donc une bijection entre $K$ et $Bor(\mathbb{R})$, en raisonnant par l'absurde on suppose que tous les sous-ensembles de $K$ sont boréliens.

  Ça veut dire que $\mathcal{P}(K) \subset Bor(\mathbb{R})$, donc on a une injection de  $\mathcal{P}(K)$ dans $Bor(\mathbb{R})$, et une bijection de $Bor(\mathbb{R})$ dans $K$ donc par composition on a une injection de $\mathcal{P}(K)$ dans $K$ et ça contredit le théorème de Cantor. https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cantor
  

  Donc il existe des sous-ensembles de $K$ qui ne sont pas boréliens. Quand ta mesure est complète et que tu prends l'ensemble de Cantor de mesure nulle tous ses sous-ensembles sont négligeables (donc de mesures nulles car mesure complète) et donc il existe des ensembles de mesure nulle non boréliens.
  

  Dans la phrase qui commence par "en particulier" remplace "non mesurable" par non boréliens, comme je l'ai fait parce que la formulation de ton cours peut embrouiller au début, quand il dit non mesurable c'est par rapport à la tribu avant la complétion.

  
  

  PS : je pense que ma démonstration marche, il y a peut-être plus simple ?
  
• Poirot

  May 2023 Modifié (May 2023)

  @Barjovrille Je ne connais pas de démonstration plus simple. Quant au fait que l'ensemble des boréliens de $\mathbb R$ a la puissance du continu, voilà rapidement comment procéder :
  

  
  

  Il est clair que, puisque tous les singletons sont boréliens, $\mathcal B(\mathbb R)$ a au moins la puissance du continu (i.e. a la même cardinalité que $\mathbb R$). Pour montrer l'inégalité inverse (argument via Cantor-Bernstein comme ci-dessus), on commence par montrer que l'ensemble des ouverts de $\mathbb R$ a la puissance du continu. Cela vient du fait que ceux-ci sont tous réunions dénombrables d'intervalles ouverts à extrémités rationnelles. Il est alors clair que l'ensemble des fermés, qui est l'ensemble des complémentaires des ouvertes, a la puissance du continu. Notons $\mathcal B_0(\mathbb R)$ l'ensemble des parties de $\mathbb R$ qui sont ouvertes ou fermées. On définit ensuite inductivement une famille transfinie $(\mathcal B_{\alpha}(\mathbb R))_{\alpha < \omega_1}$ indexée par $\omega_1$, le premier ordinal non dénombrable, de la manière suivante : pour tout $\alpha < \omega_1, \mathcal B_{\alpha+1}(\mathbb R)$ est l'ensemble des réunions dénombrables d'éléments de $\mathcal B_{\alpha}(\mathbb R)$, et leurs complémentaires, et si $\lambda < \omega_1$ est un ordinal limite, alors $\mathcal B_{\lambda}(\mathbb R) = \bigcup_{\alpha < \lambda} \mathcal B_{\alpha}(\mathbb R)$. Notons alors $\mathcal B$ la réunion des $\mathcal B_{\alpha}(\mathbb R)$, pour $\alpha < \omega_1$. Une récurrence transfinie montre que $\mathcal B$ a la puissance du continu, et comme on s'en doute, on montre que $\mathcal B = \mathcal B(\mathbb R)$, l'ensemble des boréliens de $\mathbb R$. Pour cela, il suffit de vérifier que c'est bien une tribu qui contient les ouverts de $\mathbb R$ et que toute telle tribu contient $\mathcal B$.
  

  
  
• Barjovrille

  May 2023 Modifié (May 2023)

  Je vais me pencher sur la démonstration il y a des points techniques qui m'échappent comme l'ordinal limite (bon en même temps je ne connais pas trop les ordinaux), mais je pense avoir compris le principal i.e :  on procède de cette manière pour que le $\mathcal{B}$ vérifient les propriété d'une tribu (stable par union, intersection...) qui contient les ouverts. Merci @Poirot !
  Il y a une petite coquille "si $\lambda< \omega_1$ est un ordinal limite alors" tu as écris $B_{\alpha}$ à la place de $B_{\lambda}$.
• un_kiwi

  May 2023

  Merci pour votre aide !
  
• un_kiwi

  May 2023

  Barjovrille a dit :

  il existe des sous-ensembles de $K$ qui ne sont pas boréliens. Quand ta mesure est complète et que tu prends l'ensemble de Cantor de mesure nulle tous ses sous-ensembles sont négligeables (donc de mesures nulles car mesure complète) et donc il existe des ensembles de mesure nulle non boréliens.
  

  Pas de soucis à présent avec le fait qu'un ensemble de Cantor admet des sous-ensembles non borélien (j'ai vu deux types de Cantor (maigre et gras)). C'est là où se situe mon dernier problème : selon mon cours, on ne peut pas parler de mesure pour un ensemble non mesurable (et un ensemble négligeable doit être une partie mesurable).  Donc je ne peux dire qu'un Cantor admet des sous-ensembles non boréliens (sans parler de de mesure).
  
• gerard0

  May 2023 Modifié (May 2023)

  Bonjour Un_kiwi.
  Barjovrille a précisé :  "Quand ta mesure est complète". Ce qui fait que toute partie d'un mesurable de mesure nulle est mesurable, et de mesure nulle (c'est quasiment la définition de mesure complète). Ton cours n'est pas contredit.
  Cordialement.