Exercice du dimanche
Réponses
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Ça doit se faire facilement avec les coordonnées barycentriques.
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Bonjour,
JLT, c'est bien comme ça que j'ai fait, mais si quelqu'un veut faire autrement ...
Cordialement,
Rescassol
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Pour la 1), afin de comprendre la difficulté, on sait que le centre du cercle inscrit d'un triangle est l'intersection des trois bissectrices de ce triangle. Ainsi, la question serait : pourquoi cette intersection se trouve-t-elle à l'intérieur du triangle médian ?, c'est ça ?
Le 😄 Farceur -
Ok, après beaucoup beaucoup beaucoup de travail, de recherches sur internet et dans ma tête et d'huile de coude, j'ai une autre solution pour 1) (autre que les coordonnées barycentriques).Mais c'est... long, calculatoire et un peu compliqué !Je résume du coup, je ne rédige pas complètement :
Les points $I$ ; $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ ; $[AC]$ et $[BC]$ . Les droites $(CE)$ ; $(BF)$ et $(AG)$ sont les bissectrices issues (respectivement) des sommets $C$ ; $B$ et $A$ .Je me place dans le repère affine $(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ . On a : $A(0;0)$ ; $B(1;0)$ ; $C(0 ; 1)$ ; $I(0,5 ;0)$ ; $J(0 ; 0,5)$ ; $K(0,5 ; 0,5)$ .Donc on a les équations de droites suivantes :$(AB) : y=0$$(AC) : x=0$$(BC) : x+y=1$$(IJ) : x+y=0,5$$(IK) : x=0,5$$(JK) : y=0,5$ .L'objectif maintenant est de chercher une équation de deux bissectrices du triangle $ABC$ pour pouvoir déterminer les coordonnées du centre du cercle inscrit que j'ai nommé $O$ . On pourra enfin démontrer que $O$ est à l'intérieur du triangle $IJK$ en vérifiant que : $\underline{x_O < 0,5 \text{ ; } y_O < 0,5 \text{ et } x_O+y_O >0,5}$ (astuce trouvée en cherchant sur internet et cela se constate aisément sur la figure : conforme à l'intuition).On trouve alors des équations cartésiennes de deux bissectrices de $ABC$ :$(AG) : x-y=0$$(BF) : x+y(1+\sqrt 2)-1=0$ .(Pour réussir à trouver ces équations, j'ai vu une formule "magique" sur internet, sur ce forum d'ailleurs : post datant de 2012. Si quelqu'un veut davantage d'infos, je peux les fournir. Par contre, je n'ai pas réfléchi à la preuve de cette "formule magique").On résout un système et on trouve les coordonnées du point $O$ : $O \left ( \dfrac{2-\sqrt 2}{2} ; \dfrac{2-\sqrt 2}{2} \right ) $ .On vérifie que l'on a bien : $\dfrac{2-\sqrt 2}{2} < 0,5$ et $ 2 \times \dfrac{2-\sqrt 2}{2} >0,5$ (les conditions soulignées ci-dessus !) donc $O$ est à l'intérieur du triangle médian (ouf !
) -
J'ai de gros doutes sur tes équations de bissectrices.
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... Je crois bien que cela ne fonctionne pas en effet, si $(AG)$ avait pour équation : $x=y$ dans le repère affine $(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ alors $K$ appartiendrait à $(AG)$ et serait égal à $G$... Impossible (enfin, pas forcément quoi) !
Pour info, j'ai utilisé la formule du post de Bouzar (3ème réponse au message initial) ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/736265#Comment_736265Je pense que j'ai bien appliqué les formules données mais il semble y avoir une norme au dénominateur qui découle d'un produit scalaire sans doute. J'imagine alors que cette formule est valable uniquement dans un repère orthonormé et pas seulement affine? -
Bonjour
NicoLeProf, bravo pour ce bel effort que je n'ai pas vérifié, mais la méthode me semble correcte.
Pourrais-tu donner un lien vers la discussion de 2012 contenant ta formule magique ?
J'attends un peu pour donner une solution barycentrique.
Cordialement,
Rescassol
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La formule de Bouzar ne fonctionne que dans un repère orthonormé.
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En refaisant les calculs dans le repère affine $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ (sans utiliser de produit scalaire car on n'en dispose pas), je trouve en prenant $E(x_E;0)$ et $F(0;y_F)$ avec $0 < x_E < 1$ et $0 < y_F < 1$.$(CE) : x+x_Ey-x_E=0$$(BF) : y_Fx+y-y_F=0$ .En faisant les calculs (avec un système), je trouve comme coordonnées pour $O$ (sauf erreur) :$x_O=\dfrac{x_E-y_F x_E}{1-y_F x_E}$ et $y_O=\dfrac{y_F-y_F x_E}{1-y_F x_E}$ pour $y_F x_E \neq 1$ (cas à traiter à part).Les choses se compliquent beaucoup par la suite : il faudrait prouver que $x_O < 0,5$ ; $y_O < 0,5$ et $x_O+y_O > 0,5$ (et encore je ne sais pas si c'est toujours le cas selon les positions de $E$ et $F$) et mon raisonnement n'aboutit pas (il faudrait faire de nombreuses disjonctions de cas selon la position de $E$ sur $[AB]$ : si $x_E < 0,5$ ou $x_E >0,5$ et aussi le cas particulier : $x_E=0,5$ et de même pour $F$ : bref c'est vraiment complexe ici! A moins qu'il y ait une astuce... !) .Voir une solution en barycentriques m'intéresserait beaucoup dans la mesure où je me rends compte que je ne suis pas aussi à l'aise que je ne le pensais sur cette notion qui m'intéresse beaucoup pourtant ! J'ai l'impression qu'en préparant l'exigeante agrégation interne, je n'ai fait qu'effleurer plusieurs parties du programme sans avoir le temps de tout approfondir !)
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C'est assez simple en coordonnées barycentriques. Le centre du cercle inscrit a pour coordonnées $(a,b,c)$. Un point est à l'intérieur du triangle médian si $x<y+z$, $y<z+x$ et $z<x+y$. La conclusion provient de l'inégalité triangulaire.
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Bonjour,
Le point $I$ qui est barycentre de $A,B,C$ avec pour coefficients $a,b,c$, longueurs des côtés, est barycentre des milieux $A',B',C'$ avec pour coefficients $-a+b+c, a-b+c, a+b-c$, qui sont tous les trois positifs.
Et pour la question 2 ?
Cordialement,
Rescassol
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Le point de Lemoine a pour coordonnées barycentriques $(a^2,b^2,c^2)$ et l'intérieur de l'ellipse de Steiner a pour équation $x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)\leqslant 0$.Soit $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)$. Alors $f$ est convexe par rapport à $z$. De plus, $c$ appartient à l'intervalle $[|a-b| ; a+b]$ donc $z=c^2$ parcourt un intervalle. En fixant $a$ et $b$, la fonction $c\mapsto f(a^2,b^2,c^2)$ atteint son maximum sur l'une des extrémités de l'intervalle. En l'une des extrémités, le triangle est aplati, par exemple $c=a+b$, et on vérifie directement que $f(a^2,b^2,(a+b)^2)=0$, donc $f(a^2,b^2,c^2)\leqslant 0$ pour tout triangle.
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Bonsoir
Le centre du cercle inscrit du triangle antimédian A’B’C’ de ABC est le point de Nagel de ABC...
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour
Merci JLT et Jean-Louis. Voilà comment j'avais fait:L'ellipse inscrite de Steiner a pour équation barycentrique $f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2) - 2(yz+zx+xy)=0$Le point de Lemoine a pour coordonnées barycentriques $(a^2,b^2,c^2)$.En reportant les unes dans l'autre, on obtient$g(a,b,c)=f(a^2,b^2,c^2)=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ qui est négatif.Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Une nouvelle question:
3) Le point de Feuerbach (point de contact entre le cercle inscrit et le cercle d'Euler) est toujours à l'intérieur du triangle $ABC$, mais à l'extérieur de l'ellipse inscrite de Steiner.
Cordialement,
Rescassol
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Rescassol a dit :
Le point $I$ qui est barycentre de $A,B,C$ avec pour coefficients $a,b,c$, longueurs des côtés, est barycentre des milieux $A',B',C'$ avec pour coefficients $-a+b+c, a-b+c, a+b-c$, qui sont tous les trois positifs.Ok, il m'a fallu un peu de temps pour tout comprendre, retrouver et démontrer. Je ne connaissais pas du tout ceci.On est d'accord que $A'$ est le milieu de $[BC]$ par exemple (mon point $K$ sur ma figure)? Pour trouver les coefficients associés à $A'$ ; $B'$ et $C'$, j'ai résolu un système. Y a-t-il une autre méthode un peu plus naturelle? (Vectorielle ou en utilisant l'associativité du barycentre? J'ai essayé, ça me semble compliqué ! ) -
On prend une origine quelconque, ce qui permet d'identifier les points à des vecteurs. Alors $A'=\frac{B+C}{2}$, $B'=\frac{C+A}{2}$, $C'=\frac{A+B}{2}$. On calcule que $B'+C'-A'=A$ donc $(a+b+c)I=aA+bB+cC=a(B'+C'-A')+b(C'+A'-B')+c(A'+B'-C')=(b+c-a)A'+(c+a-b)B'+(a+b-c)C'$.
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JLT a dit :$A'=\frac{B+C}{2}$, $B'=\frac{C+A}{2}$, $C'=\frac{A+B}{2}$ [...] $(a+b+c)I=aA+bB+cC$Je te remercie JLT, cela m'éclaire bien et c'est très intéressant !Une dernière question : je vois juste (est-ce pertinent?) si je vois les égalités que tu as écrites ci-dessus comme des coordonnées barycentriques normalisées (donc uniques)?Par exemple, si je prends $I=\dfrac{a}{a+b+c}A+\dfrac{b}{a+b+c}B+\dfrac{c}{a+b+c}C$ alors $I=bar \left \{ \left(A,\dfrac{a}{a+b+c} \right), \left (B,\dfrac{b}{a+b+c} \right), \left (C,\dfrac{c}{a+b+c} \right) \right \} $ et réciproquement .Edit : merci beaucoup pour ta confirmation JLT !!! Je suis très content d'avoir appris des choses sur l'utilisation des coordonnées barycentriques !
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Oui c'est ça.
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Bonjour, pour 1) selon la figure du NicoLeprof, avec le triangle $ABC$ et les segments bissectrices $[AG],[BF],[CE]$, il est facile de voir que $OC>OE$, ainsi que $OB>OF$ et $OA>OG$ sinon le point $O$ serait à l'extérieur du triangle $ABC$ contradiction (selon l'angle). Donc le milieu du segment $CE$ $\in [CO]$ et même chose pour les sommets $A,B$; ceci implique que $O$ est à l'intérieur du triangle médian.
Cela donne envie (peut-être compliqué) de trouver les extrémités (ou triangles extrêmes) des expressions $\dfrac{(OC+OB+OA)}{OE+OF+OG}$ ou bien $\dfrac{(OC \cdot OB \cdot OA)}{OE \cdot OF \cdot OG}$ ?
Cordialement.
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