Niveau collège

gebrane a dit :

Question 2.
Soit ABC un triangle isocèle en A, et D et D' deux points respectivement sur les segments [AB] et [AC]. Les droites (edit correction coquille)  CD et BD'  se coupent en un point M. Il est demandé de démontrer que si les angles AMD et AMD' sont égaux, alors les droites DD' et BC sont parallèles.

% Gebrane & NicoLeProf - 14 Mai 2023 - Niveau collège

% Soit ABC un triangle isocèle en A, et D et D' deux points respectivement 
% sur les segments [AB] et [AC]. Les droites (edit correction coquille)  
% CD et BD'  se coupent en un point M. Il est demandé de démontrer que si 
% les angles AMD et AMD' sont égaux, alors les droites DD' et BC 
% sont parallèles.

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syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

c=b; % ABC est isocèle

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Droite (BC)

%-----------------------------------------------------------------------

syms u v real

D=[u; 1-u; 0]; % Barycentre D de A(u) et B(1-u)
Dp=[v; 0; 1-v]; % Barycentre D' de A(v) et C(1-v)

M=Wedge(Wedge(C,D),Wedge(B,Dp)); % M=[u*v; v*(1-u); u*(1-v)]

AM2=Distance2(A,M,a,b,c); % AM^2
AD2=Distance2(A,D,a,b,c); % AD^2
MD2=Distance2(M,D,a,b,c); % MD^2
ADp2=Distance2(A,Dp,a,b,c); % AD'^2
MDp2=Distance2(M,Dp,a,b,c); % MD'^2

CosAMD2=(AM2+MD2-AD2)^2/(4*AM2*MD2) % cos^2(AMD)
CosAMDp2=(AM2+MDp2-ADp2)^2/(4*AM2*MDp2) % cos^2(AMD')

% Condition pour que AMD=AMD' (les angles):
NulCos=numden(Factor(CosAMD2-CosAMDp2))
% On trouve:
% NulCos=-a^2*(a^2-4*b^2)*(u-v)*(u+v-u*v)^2*((a^2-2*b^2)*u*v + (b^2-a^2)*u + (b^2-a^2)*v + a^2)=0
% u*v - u - v = 0 et M n'existe pas car (CD)//(BD')
% ou u = v

% Condition pour que (BC)//(DD')
NulPara=Factor(sum(Wedge(BC,Wedge(D,Dp)))) % On trouve u-v=0

% Gebrane - 15 Mai 2023 - Niveau collège (Exo 04)

% Soit ABC un triangle ayant ses angles aigus. 
% Soit D ∈ [BC] tel que BAC = ADB (les angles)
% Soit H le pied de la hauteur issue de B dans ABC. 
% La perpendiculaire à (BC) passant par H coupe (AD) en K. 
% Supposons que K soit à l'intérieur du triangle ABC. 
% Soit M le milieu de [AC].

% Montrer que MH = MK.

%-----------------------------------------------------------------------

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

D=[0; 1; t]; % Un point quelconque de (BC)

% Si les angles BAC et ADB sont égaux, les triangles ABC et DBA
% sont semblables, donc on a BC.BD=BA^2, d'où:
Nul=Factor(a^2*Distance2(B,D,a,b,c)-c^4) % doit être égal à 0.
% c^2*t - a^2*t + c^2 = 0 donc t=c^2/(a^2-c^2) et:
D=[0; a^2-c^2; c^2]; 

H=[Sc; 0; Sa];
HK=DroiteOrthogonaleBary(H,BC,a,b,c);
AD=Wedge(A,D);
K=Wedge(AD,HK); % On trouve K=[a^2*Sa, (a^2-c^2)*Sc, c^2*Sc]
M=[1; 0; 1];

MH2=Factor(Distance2(M,H,a,b,c))
MK2=Factor(Distance2(M,K,a,b,c))
% On trouve MH2=MK2=(a^2-c^2)^2/(4*b^2)

Rescassol a dit :

% NulCos=-a^2*(a^2-4*b^2)*(u-v)*(u+v-u*v)^2*((a^2-2*b^2)*u*v + (b^2-a^2)*u + (b^2-a^2)*v + a^2)=0
% u*v - u - v = 0 et M n'existe pas car (CD)//(BD')
% ou u = v

% Condition pour que (BC)//(DD')
NulPara=Factor(sum(Wedge(BC,Wedge(D,Dp)))) % On trouve u-v=0

function Pt = Normalise(P)
         % Si P={x; y; z], fait en sorte que x + y + z = 1
         
         Pt= P / sum(P);       
end

function VD = VecteurDirecteur(D)
         % Un vecteur directeur VD de la droite D=[p q r]         
         
         p=D(1); q=D(2); r=D(3);       
         VD=[q-r r-p p-q];
end

function V = Vecteur(A1,A2)
         % Calcule le vecteur A1A2
         
         A1=Normalise(A1);
         A2=Normalise(A2);
         V = VecteurDirecteur(Wedge(A1,A2));         
end

function Dist2 = Distance2(A1,A2,a,b,c)   
         % Carré de la distance entre deux points A1 et A2
         
         V=Vecteur(A1,A2);
         p=V(1); q=V(2); r=V(3);
         Dist2 = - a^2*q*r - b^2*r*p - c^2*p*q;                  
end