CG maths 2023
1/ Bon courage aux jeunes pour le CG de maths demain.
2/ Créé en 1744 pour récompenser les études classiques gréco-latines, le concours général se diversifie au XIXe siècle en accueillant les mathématiques en 1811, la physique en 1833, mais ne concerne encore que les garçons des lycées parisiens. Supprimé de 1904 à 1921, il s’ouvre en 1924 aux élèves de province et aux filles. Depuis 1995, il se décline en deux types de concours :
• le concours général des lycées qui, sur trente disciplines, s’adresse aux élèves de première et de terminale des lycées généraux et technologiques (terminale S pour les mathématiques) ;
• le concours général des métiers qui, sur dix-huit spécialités, s’adresse aux élèves de terminale des lycées professionnels ou des centres de formation d’apprentis.
Dans tous les cas, les candidats sont présentés par leurs professeurs.
3/ Voici un des exercices qu'a eu Evariste Galois au CG de maths en 1829
2/ Créé en 1744 pour récompenser les études classiques gréco-latines, le concours général se diversifie au XIXe siècle en accueillant les mathématiques en 1811, la physique en 1833, mais ne concerne encore que les garçons des lycées parisiens. Supprimé de 1904 à 1921, il s’ouvre en 1924 aux élèves de province et aux filles. Depuis 1995, il se décline en deux types de concours :
• le concours général des lycées qui, sur trente disciplines, s’adresse aux élèves de première et de terminale des lycées généraux et technologiques (terminale S pour les mathématiques) ;
• le concours général des métiers qui, sur dix-huit spécialités, s’adresse aux élèves de terminale des lycées professionnels ou des centres de formation d’apprentis.
Dans tous les cas, les candidats sont présentés par leurs professeurs.
3/ Voici un des exercices qu'a eu Evariste Galois au CG de maths en 1829
Une surface sphérique et une surface de cylindre droit à base circulaire étant données et se coupant dans une courbe, on suppose que de tous les points de cette courbe on abaisse des perpendiculaires sur le plan passant par le centre de la surface sphérique et par l'axe de la surface cylindrique, et on demande l'équation de la courbe qui passe par tous les points où il est rencontré par les perpendiculaires, et de quelle espèce est cette courbe" ?
4/ Pour voir les photos de la cérémonie du concours général 2018 effectuer une recherche sur internet.
4/ Pour voir les photos de la cérémonie du concours général 2018 effectuer une recherche sur internet.
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Réponses
Si quelqu'un a sous la main le sujet 2023, je suis preneur.
Merci d'avance !
Bonne journée.
Cirollin peux-tu nous confirmer pour la solution Août-Septembre 2003 page 642-643 ? Merci
le problème 11852 AMM American Mathematical Monthly August-September 2015 auteur Sam Northshield
https://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/AMM11852.pdf
Question 3 : vérifier que $u_8=4$ : à ce niveau, je me suis dit que la 'bienveillance' avait atteint même le CG. Pour rassurer nos petits lycéens, on leur donne la solution, pour qu'ils puissent corriger leurs erreurs éventuelles. Grosse déception.
Question 4, ok, rien à signaler
Question 5 : Montrer que tout nombre rationnel positif est égal à un terme $u_n$ : Waowww, bravo, ça c'est un résultat magnifique, et totalement inattendu, un beau résultat qui fait aimer les maths, une belle bijection de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{Q}^+$
https://www2.math.upenn.edu/~wilf/website/recounting.pdf
Voir aussi l’article d’Igor Urbiha
Some properties of a function studied by De Rham, Carlitz and Dijkstra and its relation to the (Eisenstein-)Stern's diatomic sequence.
https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/AG1_2223/Aigner_Ziegler_Raisonnements_divins_chapitre_17.pdf
Je rédige rapidement l'exo 3 jusqu'à l'endroit où je ne vois pas le 'truc'.
1) Non, la courbe est une droite et un triangle équilatéral a des sommets non alignés.
2)a) On calcule et vérifie que AB=AC=BC et que l'isobarycentre de A,B et C est bien O puisque les moyennes des abscisses et ordonnées font 0.
b)On vérifie que $Q(x_A)=y_A$ et pareil pour B et C.
c) idem, on rajoute un polynôme qui s'annule en $x_A, x_B, x_C$.
d) $Q(X)+X^{d-2}(X^2-1)$ est de degré d et prend les mêmes valeurs que Q en $0,\pm 1$ donc c'est gagné.
3)a) On peut par exemple considérer que chaque sommets est l'image du précédent par la rotation de centre 0 et d'angle $\frac{\pi}{2}$ ce qui revient à multiplier par $i$. Ainsi $z_B=iz_A$, $z_C=iz_B=-z_A$ et $z_D=iz_C=-iz_A$ d'où $x_B=-y_A$, $x_C=-x_A$ et $x_D=y_A$. Si certains étaient égaux, alors on aurait deux ordonnées pour une même abscisse par la fonction $P$ ce qui est absurde. Si l'un est nul, les diagonales du carré sont les axes et sur l'axe des ordonnées, on aurait deux sommets dont aucune courbe de fonction ne peut passer par ces deux sommets.
b) $P(x_A)=y_A \neq 0$ donc P est non nul. On peut facilement trouver un polynôme Q de degré 3 tel que la courbe de Q passe par A,B,C et D (Lagrange même si ça me déplait ici, je ne vois pas d'argument simple). Ainsi, si $P$ est de degré inférieur à 2, $P-Q$ est de degré 3 et possède 3 racines distinctes au moins. Il est donc nul donc $P=Q$ ce qui est absurde puisque P est de degré inférieur à 2. Ainsi P est de degré supérieur à 3.
4)a) $P(X)+P(-X)$ est de degré 2 et s'annule en 4 points distincts $\pm x_A$ et $\pm y_A$. Il est donc nul. Ainsi $P$ est impair et $a=c=0$.
b) On reprend 3)a) : $y_B=x_A$, $y_C=-y_A$ et $y_D=-x_A$. On voit alors que $P(x_A)=y_A$, $P(-y_A)=x_A$, $P(-x_A)=-y_A$ et $P(y_A)=-x_A$. Ainsi, $P(P(X))+X$ s'annule en les quatre abscisses.
c) Je sèche là ! Il sort d'où ce polynôme ?
On peut lire sur la première page du CG maths 1961 écrit à la main vendredi Mai 1961.
était-ce le vendredi 5, 12, 19, ou 27 mai le jour de l’épreuve ?
https://www.wolframalpha.com/input?i=solve++x%5E4+-3x%5E3+%2B+3x%5E2+-2*x+%2B2+%3D0
donc la question 4)c) est erronée. Qu’en pensez-vous ?
Pierre.
Pour le 4e) $\alpha=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \beta=\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ peut-on avoir une confirmation ?
On montre que $b<0$ car si $b\geq 0$, une étude de fonction de $Q$ ($Q''$ de degré 2 donc faisable) montre qu'il admet au plus une racine positive (je crois).
Je reste sur ma fin sur le lien entre $Q$ et $P$, quel est-il ? En gros, je me doute que $|x_A|$ et $|y_A|$ sont racines mais je ne vois pas pourquoi. On sait que $P(x_A)=x_A^3+bx_A=y_A$ et que $P(y_A)=y_A^3+by_A=-x_A$ mais ensuite comment gère-t-on $x_A^4$ ??
Fr. Ch.
Bonne journée
Édit: j'avais précédemment partagé dans ce message le sujet que j'avais reçu, mais je me suis rendue compte qu'il n'était jamais paru sur internet et qu'il pourrait éventuellement resservir pour d'autres concours... (Ça me paraît toutefois difficile étant donné que 50 personnes au moins on eu ce sujet lors du CG 2023...)
si tu as planché dessus ainsi que 50 autres de tes camarades, c'est trop tard. Le sujet a été divulgué et comme tu l'as mis en ligne ici, même succinctement, il est peu probable qu'il n'arrive pas en ligne tôt ou tard. Donc, je me permets de le remettre
on planché sur celui qu’Alexique a mis en pdf ?
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334626/sur-un-exercice-du-cg-2023