Somme de caractères de Dirichlet
Bonjour, j'aimerais comprendre comment de la relation suivante $$
\sum_{\chi\pmod q}^* \chi(r)=\sum_{k \mid(q, r-1)} \varphi(k) \mu(q / k)
$$ avec $(r, q)=1$, on peut obtenir cette autre relation $$ \sum_{\substack{\chi \pmod q \\ \chi(-1)=(-1)^\nu}}^* \chi(m) \bar{\chi}(n)=\frac{1}{2} \sum_{d \mid(q,|m-n|)} \varphi(d) \mu(q / d)+\frac{1}{2}(-1)^\nu \sum_{d \mid(q, m+n)} \varphi(d) \mu(q / d) $$ lorsque $(mn, q) = 1$.
Ici les caractères sont ceux de Dirichlet et * signifie que on considère uniquement les caractères primitifs. $\varphi$ est l'indicatrice d'Eulet et $\mu$ la fonction de Möbius.
Cependant dans ma référence, la première relation se montre comme suit.
Si nous écrivons $h_r(k)=\sum^*_{\chi\pmod k} \chi(r)$ alors pour $(r, q)=1$ nous avons $$
\sum_{k \mid q} h_r(k)=\sum_{\chi\pmod q} \chi(r)= \begin{cases} \varphi(q) & \text { si } q \mid r-1 \\ 0 & \text { sinon. } \end{cases}
$$ et le résultat découle l'inversion de Möbius.
J'aimerais comprendre aussi cette égalité $\sum_{k \mid q} h_r(k)=\sum_{\chi\pmod q} \chi(r)$.
Merci.
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Réponses
En revanche, on peut parfaitement procéder comme sa démonstration, i.e. utiliser essentiellement l'inversion de Möbius comme suit.
\begin{align*}
\sum_{d \mid q} \sideset{}{^\star} \sum_{\substack{\chi \, (\textrm{mod} \, d) \\ \chi(-1) = (-1)^\alpha}} \chi(m) \overline{\chi}(n) &= \sum_{\substack{\chi \, (\textrm{mod} \, q) \\ \chi(-1) = (-1)^\alpha}} \chi(m) \overline{\chi}(n) \\
&= \begin{cases} \frac{1}{2} \varphi(q) , & \textrm{si} \ m \equiv n \pmod q \, ; \\ & \\ \frac{(-1)^\alpha}{2} \varphi(q) , & \textrm{si} \ m \equiv -n \pmod q \, ; \end{cases}
\end{align*}
de sorte que, par inversion de Möbius, pour $(mn,q)=1$
\begin{align*}
\sideset{}{^\star} \sum_{\substack{\chi \, (\textrm{mod} \, q) \\ \chi(-1) = (-1)^\alpha}} \chi(m) \overline{\chi}(n) &= \tfrac{1}{2} \sum_{d \mid q} \varphi(d) \mu(q/d) \mathbf{1}_{m \equiv n \, (\textrm{mod} \, d)} + \tfrac{(-1)^\alpha}{2} \sum_{d \mid q} \varphi(d) \mu(q/d) \mathbf{1}_{m \equiv -n \, (\textrm{mod} \, d)} \\
&= \tfrac{1}{2} \sum_{d \mid (q,m-n)} \varphi(d) \mu(q/d) + \tfrac{(-1)^\alpha}{2} \sum_{d \mid (q,m+n)} \varphi(d) \mu(q/d).
\end{align*}
$$\sum_{\substack{ \chi \, (\textrm{mod} \, q) \\ \chi(-1)=(-1)^\alpha}} \chi(m) \overline{\chi} (n) = 0.$$