Théorème du rang (oral 1 agrégation interne 2023) refusé
Bonjour à tous, voilà je viens d’être refusé à l'agreg interne. j'ai eu 8.2 à l'oral 1 et 18.20 à l'oral 2, je suis refusé à 0,14 près.
Bref, lors de l'oral 1, leçon 144 notion de rang en algèbre linaire et bilinéaire. je fais ma leçon orale, le développement je fais une application du théorème du rang : matrice de Gram avec une application sur les cercle tangents.
Ensuite arrive les questions du jury, le plan pas de question, sur le développement quelques questions sur la dimension de la matrice de Gram. Comme c'était la matrice de la famille (x1, ... , xp) de vecteurs, j'ai dit c'est une matrice dans Mp(IR), ensuite question sur le théorème du rang, je l'écris comme suit : soit u dans L(E,F) alors rg(u) + dim ker(u) = dim E, qu'ai-je fait ? Je ne sais pas, et voilà la fameuse question quel est le rôle de F, je réponds qu'il n'intervient pas dans le théoreme du rang ? Vous êtes sûr ? Je réfléchis encore, dans ma tête à part lors de la démo où on construit la base de E en complétant celle du ker, je ne vois pas, j'écris l'isomorphisme E/ ker(u) isomorphe à Imu, pour justifier que je ne vois pas ou intervient la dimension de F. nous avons discuté plus de la moitié du temps du jury là dessus, à la fin j'ai dit je ne voyais pas. Ensuite nous sommes passés à autre chose, ils m'ont demandé de démontrer un théorème de mon plan, chose que j'ai fait, on m'a ensuite demandé pour une forme linéaire pourquoi Im (u) était K, j'ai répondu. Donc j'écris sur ce forum, pour juste avoir une explication s'il y en a, sur cette histoire de F qui intervient dans le théorème du rang.
Merci à vous.
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Réponses
je te remercie pour ta réponse, que je sois refusé oui cela me fruste, mais je veux simplement comprendre pour ne pas retomber dans la même erreur. j'avoue je n'ai pas donné une réponse de ce genre, j'ai même cru que je m'étais trompé sur la dimension de ma matrice de Gram. Sincèrement je ne comprends pas. En tout cas merci.
Mon message n’est pas là pour te critiquer, Dial. Plutôt pour te dire de passer à autre chose. S’il n’y avait qu’un milliardième de point manquant, pourquoi ne manquerait-il qu’à cet oral et pas sur l’autre oral ou les deux écrits ?
Quand on flirte avec la barre, c’est rageant… alors on regarde la pire des notes et on se refait le film. Ok, c’est un réflexe ordinaire. Mais finalement, tout en étant rageant, c’est aussi rassurant pour la suite. Tu seras dans le coup la prochaine fois. Et tu passeras sans toucher la barre.
Ils n'auraient pas voulu laisser passer quelqu'un qui en faisait autant, car en maths, on n'y comprend plus rien si c'est bourré de fautes d'orthographe.
On dit que $u$ est de rang fini lorsque son image $Im u$ est de dimension finie.
On appelle rang de $u$ noté $rg(u)$ la dimension de $Im(u)$.
Le théorème suivant est valable en dimension infinie :
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $u \in \mathcal L(E,F)$. Si $E_0$ est un supplémentaire de $\ker u$ dans $E$ alors $u$ induit un isomorphisme de $E_0$ sur $Im(u)$.
Il suffit de considérer l'application linéaire $v : E_0 \longrightarrow Im(u)$ définie par $v(x)=u(x)$.
Théorème du rang :
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $u$ une application linéaire de $E$ dans un espace vectoriel $F$. Alors $u$ est de rang fini et $\dim E=rg(u)+ \dim (\ker u)$.