Entiers de la forme $x^2+3xy+y^2$

On doit pouvoir caractériser les nombres premiers de la forme $x^2+3xy+y^2$

Pour plus de précision : A038872 sont les nombres premiers dans la suite A031363.

Merci, Math Coss !

Il s'agit surtout de l'unique caractère réel primitif de Dirichlet modulo $5$ (après, c'est vrai que je mélange les noms...).

Pour uvdose : c'est moins simple avec ta contrainte, mais faut voir !

Je généralise Math Coss et Boécien : la fonction que j'ai (inutilement) appelée $\Delta$ n'est en fait rien d'autre que le $n$-ème coefficient de la fonction zêta de Dedekind $\zeta_K$ du corps de nombres $K := \mathbb{Q} \left( \sqrt 5 \right)$, i.e. la fonction qui compte le nombre d'idéaux entiers non nuls de norme $n$.

Cette fonction étant multiplicative, seules ses valeurs sur les puissances primaires $p^\alpha$ sont nécessaires. Or, $K$ étant galoisien, quelques connaissances en théorie algébrique des nombres montrent que
$$\Delta \left( p^\alpha \right ) = \begin{cases} \tau_{g_p} \left( p^{\alpha/f_p} \right), & \textrm{si} \ f_p \mid \alpha \, ; \\ 0, & \textrm{sinon} \, ; \end{cases}$$
où $f_p$ est le degré résiduel de $p$ et $g_p$ est le nombre d'idéaux premiers au-dessus de $p$ (rappelons que, dans ce cas ici d'un corps quadratique, on a $e_p f_p g_p = 2$ où $e_p$ est l'indice de ramification de $p$). $\tau_k$ est l'habituelle fonction de diviseurs de Dirichlet-Piltz.

Exemple. Dans un corps quadratique, la loi de décomposition d'un nombre premier est parfaitement connue. Dans le corps qui nous occupe ici : 

(i) si $(5/p) = 1$, c'est-à-dire $p \equiv 1 \ \textrm{ou} \ 4 \pmod 5$, $p$ est complètement décomposé, et donc $e_p = f_p = 1$ et $g_p = 2$, de sorte que $\Delta \left( p^\alpha \right ) = \tau(p^\alpha) = \alpha + 1$ ;

(ii) si $(5/p) = -1$, c'est-à-dire $p \equiv 2 \ \textrm{ou} \ 3 \pmod 5$, alors $p$ est inerte, et donc $f_p=2$ et $e_p=g_p=1$, puis $\Delta \left( p^\alpha \right ) = 1$ si $\alpha$ est pair, $\Delta \left( p^\alpha \right ) =0$ sinon ;

(iii) si $p = 5$, $p$ est totalement ramifié (normal puisque c'est le discriminant de $K$), donc $e_p=2$ et $f_p=g_p = 1$, puis $\Delta \left( p^\alpha \right ) = 1$.

Remarque. La vraie notation de $\Delta$ est $r_K$.

Oui le produit est sans carré.

Je ne vais pas refaire ici la théorie des représentations des entiers en formes binaires, mais on peut vérifier que, si $(x,y)$ est solution de l'équation $ax^2+bxy+cy^2=n$ de discriminant $d := b^2-4ac$,  alors $(x^{\, \prime},y^{\, \prime}) := (x,y) T$ l'est aussi, où
$$T := \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}(v-bw) & aw \\ -cw &  \tfrac{1}{2}(v+bw) \end{pmatrix}$$ 
où $v$ et $w$ sont deux entiers vérifiant $v^2 - dw^2 = 4$. Lorsque $d > 0$ (ce qui est le cas ici), cette équation a une infinité de solutions engendrées par une solution fondamentale $(v_0,w_0)$, de sorte que chaque matrice $T$ est de la forme $T_0^k$ avec $T_0$ formée à partir de $(v_0,w_0)$.

Toute solution de $ax^2+bxy+cy^2=n$ est associée à un entier $m \in \{0, \dotsc,2n-1\}$, appelée entier attaché, vérifiant $m^2 \equiv d \pmod{4n}$ (je passe les détails sur ce nombre). Ainsi, d'après le paragraphe ci-dessus, toute solution de $ax^2+bxy+cy^2=n$ attachée à $m$ peut être engendrée par une solution fondamentale $(x_0,y_0)$ via $(x,y) = (x_0,y_0) T_0^k$ pour un certain entier $k$. $(x_0,y_0)$ s'appelle solution primaire (attachée à $m$), et l'usage en théorie des nombres est de calculer le nombre de solutions primaires de l'équation, en omettant généralement le mot "primaire".

Exemple. Avec $a=c=1$, $b=3$, donc $d=5$, et en prenant $(v_0,w_0) = (18,8)$, on obtient
$$T_0 := \begin{pmatrix} -3 & -8 \\ 8 &  21 \end{pmatrix}$$ 
i.e. la matrice du message ci-dessus.

Je remercie LOU16 pour son message qui apporte tant de clarté à ce fil !

J'ai pourtant dit, je cite : "l'usage en théorie des nombres est de calculer le nombre de solutions primaires de l'équation, en omettant généralement le mot primaire".

Encore faut-il savoir faire de la théorie des nombres...

Edit (1er mai 2023). J'ai supprimé une partie de ce message, inutilement méchante, écrite hier sous le coup de l'énervement. Après tout, je ne connais pas ce LOU16, qui, lui, au contraire, semble me connaître, puisqu'il assène une assertion désagréable à mon égard ! Quant à la petite précision apportée par mon message plus haut, je suis certain qu'uvdose, Math Coss et Boécien, sinon la connaissaient , du moins s'en doutaient. Bien entendu, et contrairement à ce qu'affirme LOU16, les messages ci-dessus sont parfaitement corrects, ce sont des théorèmes connus de longue date, mais le cas de solutions entières naturelles n'est pas couvert par ces résultats, et il n'y a pas, à ma connaissance, d'études spécifiques dans ce cas. Bref, je m'efforcerai à l'avenir (si possible) de ne pas intervenir sur un fil dans lequel ce LOU16 apparaît, et j'essaierai (si possible) de ne pas répliquer quand ce LOU16 répond après moi. Une chose est sûre : on ne passera pas nos vacances ensemble !

Joli uvdose, cela suffit à montrer que c'est non borné. En tout cas je confirme que si on note $$\delta(n)=\left|\left\{ (x,y),\ 1\leq x\leq y\leq n,\ x^{2}+3xy+y^{2}=n\right\} \right|$$ le nombre que recherche uvdose et $$\triangle(n)=\sum_{d\mid n}\left(\frac{5}{d}\right)$$ le nombre de noix de totos où $\left(\frac{5}{d}\right)$ est le symbole de Kronecker, alors on a $$\triangle(n)=2\delta(n)+\theta(n) $$ avec
$\theta(n)=1$ si $n=k^{2} $
$\theta(n)=-1$ si $n=5k^{2}$
$\theta(n)=0$ autrement
Ce qui donne en particulier lorsque $n$ est le produit de premiers distincts congrus à $1$ ou $4$ modulo $5$ $$\delta(n)=\frac{1}{2}\tau(n)$$ et $\delta(n)$ est non borné.

Merci jandri, j'ai corrigé la coquille c'est bien des nombres de la forme $x^2+3xy+y^2$ dont je parlais.  Je précise que pour moi  $\triangle(n)=\sum_{d\mid n}\left(\frac{5}{d}\right)$ donne le nombre de solutions $(x,y)$ vérifiant $-x<y\leq x$ à $n=x^{2}-5y^{2}$.

En recherchant les premières solutions j'ai constaté que le nombre de solutions primitives de $x^2+3xy+y^2=n$ (c'est-à-dire le nombre de solutions avec $1\leq x\leq y$ et $x$ et $y$ premiers entre eux) est égal à $2^{r-1}$ si $n=\displaystyle\prod_{k=1}^rp_k^{e_k}$ où les $p_k$ sont des nombres premiers congrus à $\pm1$ modulo $10$.