Suite généralisée croissante (net)

@amafhh : A mon avis pour que ta question ait un sens il faut qu'il y ait aussi un ordre sur $A$. Un net est une suite généralisée, donc on peut se baser sur ce qu'on connaît sur les suites classiques, i.e. le cas où $A=\mathbb{N}$. C'est quoi une suite croissante ? C'est simplement une fonction $f:\mathbb{N} \to E$ telle que $\forall (n,p) \in \mathbb{N}^2, n<p \Rightarrow f(n) \prec f(p)$, où $\prec$ désigne l'ordre sur $E$. Et l'usage veut qu'on écrit $u_n$ au lieu de $f(n)$.

Généralisons : tu mets un ordre $<$ sur $A$. Un net croissant $N$ à valeurs dans $(E, \prec)$ est une application $f:A \to E$ telle que $\forall (i,j) \in A^2, i<j \Rightarrow f(i) \prec f(j)$. Et l'usage fait qu'on écrit $x_i$ au lieu de $f(i)$. Donc ce net est un sous-ensemble du produit cartésien $A \times E$ dont la première projection est exactement $A$ (tout élément de $A$ a une image par $f$) et dont la deuxième projection est un sous-ensemble de $E$. Donc $N$ est un ensemble de couples, qui est fonctionnel au sens où $((i,x) \in N \land (i,y) \in N ) \Rightarrow x=y$.

Un sous-net (strict) $N'$ de $N$ sera lui aussi un ensemble de couples, dont la première projection est un certain $B \subsetneqq A$ : tu as viré certains couples, ce qui revient à dire que tu as restreint ta fonction $f$ à $B$. Mais alors la condition de croissance devient $\forall (i,j) \in B^2, i<j \Rightarrow f(i) \prec f(j)$, et elle est automatiquement réalisée puisqu'elle était déjà vraie sur $A$ par hypothèse. Donc $N'$ est croissant.